共通解の扱い方

質問

平成１３年度基礎からのチャート式について
例題１１の補足に書いてある内容で

F（ｘ）＝０、G（X）＝０の共通解は、
ｓF（ｘ）＋ｔG（X）＝０の解
（この逆は、成り立たないので注意する）

なぜ、逆は成り立たないのでしょうか？
できれば、反例など教えていただけたらうれしいです。

回答No.2

R_Earl · ベストアンサー

＜反例＞
F(X) = X
G(X) = X^2
共通解はX = 0

s = 1, t = 1の時、
sF(X) + tG(X)
= X + X^2
= X(X + 1)

sF(X) + tG(X) = 0の解はX = 0, -1

> なぜ、逆は成り立たないのでしょうか？

F(X)とG(X)の共通解をX = aとおくと、F(a) = 0かつG(a) = 0です。
このX = aをsF(X) + tG(X)に代入すると、

sF(a) + tG(a)
= s × 0 + t × 0
= 0

よってX = aがsF(a) + tG(a) = 0の解になる。
しかし、sF(X) + tG(X) = 0が成り立つXは

sF(X) = -tG(X)

が成り立つXでも良い。
先ほど挙げた反例を見ていただくと分かりますが、
X = -1の時、sF(X) = -1、tG(X) = 1です。
ようは、sF(X)とtG(X)が足し引きされて0になる場合のXも解となります。

まとめると、
F(X) = 0とG(X) = 0の共通解 … 「F(X) = G(X) = 0となるX」
sF(X) + tG(X) = 0の解…「F(X) = G(X) = 0となるX」と「sF(X) = -tG(X)となるX」

「sF(X) + tG(X) = 0の解」の方が「F(X) = 0とG(X) = 0の共通解」より数が多いということになるので、
逆が成り立たないということになります。

(正確にはsF(X) + tG(X) = 0の解は
「sF(X) = tG(X) = 0となるX」と「sF(X) = -tG(X)となるX」です。
sが0であれば、例えF(X) = 0の解が存在しなくても
sF(X) = tG(X) = 0の解が存在する可能性がでてきます。)

回答No.3

noname#101087

>F（ｘ）＝０、G（X）＝０の共通解は、ｓF（ｘ）＋ｔG（X）＝０の解（この逆は、成り立たないので注意する）
>なぜ、逆は成り立たないのでしょうか？

単純な「反例」。
　　F(x) = x-a
　　G(x) = (x-a)(x-b)
から、
　　sF(x)+tG(x) = (x-a)(tx-tb+s)
を作る。
これの零点
　　b-(s/t)
を a とは異なるように選べますね。

回答No.1

incd

F(x) = x^2 -x -2.
G(x) = x^2 +x -6.
とすると、
F(x)=0の解は2,-1.
G(x)=0の解は2,-3.
つまり共通解は2.

s=t=1の場合
sF(x)+tG(x) = 2x^2-8なので
sF(x)+tG(x) = 0の解は2,-2.

というわけで、-2はF(x)=0,G(x)=0の共通解ではないので、反例です。