電場中の陽子の動き

質問

二次元座標(x,y)上にV=10(x^2-y^2)で表される電位分布がある。
y軸上の点R(0,0.8)から陽子を初速度vで打ち出す。
vがv0以下であると陽子はy<0の領域に入れない。
v0の値を求めよ。陽子の質量m=1.7*10^-27、電気量はq=1.6*10^-19とする。

この問題で、Rにできるy方向の電場が20y、F=ma=qEより加速度a=qE/m。
v^2-v0^2=2ayからv=0としてv0を求めようと思ったのですが、そうするとvが虚数になってしまい、しかも二通りの答えになってしまいます。
どのように解けばいいのでしょうか？

回答No.1

endlessriver · ベストアンサー

式はmr~~=qE=-q*grad(V)=-q(20x,-20y)。したがってy方向のみ考慮すればよい。~は時間微分。
my~~=20qy.a=√(20q/m)>1として、初期y座標をY>0、初期y方向速度をvとすると解はy=(1/2)(Y+v/a)exp(at)+(1/2)(Y-v/a)exp(-at)。y>=0であればよい。
１．Y+v/a>0とする。
y>=0とすればexp(2at)>=-(Y-v/a)/(Y+v/a)=1-2Y/(Y+v/a)。左辺>=1、右辺<1。
となり、常にy>=0が満たされる。
２．Y+v/a=0の条件も検討。
３．Y+v/a<0とし、y<0の条件をもとめるとこのときは常にある時間tでy<0となる。
４．ゆえにY+v/a>=0となる初速度Vであればよい。