微分による不等式の証明問題がわからない

質問

0<x<1 のとき、log(1+x) < x/(1-x) を証明せよ
という問題がわかりません。
方針としては、まずf(x)=(右辺)-(左辺)とおき、f'(x)を求めるようなのでやってみましたがその先が検討もつきません。完全に行き詰まってしまいました。

一応、求めたf'(x)も書いておきますと、
f'(x) = -1/(x^2-2x+1)-1/(1+x)
となりました。

どなたかご教授お願いします。

回答No.2

connykelly · ベストアンサー

>一応、求めたf'(x)も書いておきますと、
f'(x) = -1/(x^2-2x+1)-1/(1+x)
となりました。

え～っと、計算間違いでは。f(x)=x/(1-x)-log(1+x)としてxで微分するとf'(x)=1/(1-x)^2-1/(1+x)=x(3-x)/(1+x)(1-x)^2となりませんか。0<x<1の区間ではf'(x)>0となりますね。あとはご自分でフォローください。

お礼

おっしゃるとおり計算ミスでした。

あとは、
f'(x)>0より、f(x)は0<x<1で増加
f(0)=0よりf(x)>0
となりますね。

解決できました。ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

与えられた区間で f(x) > 0 を示せばよい.
f'(x) の符号からその区間での f(x) の増減もわかる. lim(x→0) f(x) も (符号だけだけど) わかるので, f(x) のグラフの概形を描いてみる.