制御工学における無駄時間要素をパデ近似(3次/3次)したときのランプ応答について

質問

• 制御工学において、無駄時間要素をパデ近似(3次/3次)した場合のランプ応答について調査しています。
• 無駄時間要素を無駄時間Lとし、伝達関数はG(s)=e^(-Ls)と表わされます。
• 伝達関数をパデ近似(3次/3次)すると、分子と分母の3次方程式を解くことで実根と虚根が得られます。その後、ランプ応答を求めるために計算方法を検討していますが、うまくいっていません。

回答No.14

noname#101087 · ベストアンサー

>多項式の正負をどのように判定されているのか.....

単純な目視に過ぎません。
有理式のままではゴチャゴチャして焦点が定まらないので、分子多項式だけ書き出してみましょう。

L=1のとき、原式を因数分解。
　　-(s^3/120) + (s^2/10) - (s/2) + 1 = -(s-a)(s^2-bs+c)/120
この両辺に 120 を乗算すれば、
　　-s^3 + 12s^2 - 60s + 120 = -(s-a)(s^2-bs+c)　　(ac=120)

一方、mathstudy さんの因数分解の結果は、
　　s^3 - 12s^2 + 60s - 120 = (s-a)(s-σ-jω)(s-σ+jω) = (s-a)(s^2-bs+c)
これは原式を正負逆転したものですね。

お礼

ご回答頂きありがとうございます。
返信遅くなり申し訳有りません。
ご指摘頂いた分子式で眼が覚めました。
もっとも単純なミスをしていたわけですね。
求めようとしたランプ応答が描けました。
ありがとうございました。
結局小生質問の解は以下のようになりました。
e^(-Ls)={1-(Ls)/2+(L^2*s^2)/10-(L^3*s^3)/120}/{1+(Ls)/2+(L^2*s^2)/10+(L^3*s^3)/120}
分母分子の３次式をそれぞれカルダノの方法でとくと１つの実根と
２つの虚根（共役複素数）が得られる。これらを、複素平面上で
分母は左半面、分子は右半面で分母分子は左右対称であることから
一般解を実根a、複素根をσ±jωとおく、分子多項式の係数の正負に
注意すると伝達関数は次のようにおける。
G(s)=-(s-a)(s-σ-jω)(s-σ+jω)/(s+a)(s+σ-jω)(s+σ+jω)
ランプ応答をr(t)とするとr(t)=L^-1[G(s)/s^2]となる。ここで
G(s)/s^2={-(s-a)(s-σ-jω)(s-σ+jω)}/{s^2(s+a)(s+σ-jω)(s+σ+jω)}
　={(s-a)((s-σ)^2+ω^2)}/{s^2(s+a)((s+σ)^2+ω^2)}
　=A/s+B/s^2+C/(s+a)+{D(s+σ)+Eω}/{(s+σ)^2+ω^2)}
　についてA,B,C,Dの各係数を部分分数展開して求める。
　上式を満たす連立方程式は次式のとおり。
　A＋C+D=0
　(2σ+a)A+B+2σC+(a+σ)D+ωE=-1
　(σ^2+ω^2+2aσ)A+(2σ+a)B+(σ^2+ω^2)C+aσD+aωE=2σ+a
　a(σ^2+ω^2)A+(σ^2+ω^2+2aσ)B=-(σ^2+ω^2+2aσ)
　a(σ^2+ω^2)B=a(σ^2+ω^2)
　ここでσ^2+ω^2=Xとおくと上記連立方程式の答えは次のとおり。
　A=-2(X+2aσ)/(aX)
　B=1
　C=2(X+a^2+2a)/{a(X+a^2-2aσ)}
　D=-4σ(X-a^2+2aσ)/{X(X+a^2-2aσ)}
　E=4σ((a^2)*σ+2aX-2aσ^2-σX)/{ωX(X+a^2-2aσ)}
　これを次式に代入することで得られる。
　L^-1[G(s)/s^2]=A+B*t+C*EXP(-at)+D*EXP(-σt)cos(ωt)＋E*EXP(-σt)sin(ωt)