制御工学における無駄時間要素をパデ近似(3次/3次)したときのランプ応答について

質問

• 制御工学において、無駄時間要素をパデ近似(3次/3次)した場合のランプ応答について調査しています。
• 無駄時間要素を無駄時間Lとし、伝達関数はG(s)=e^(-Ls)と表わされます。
• 伝達関数をパデ近似(3次/3次)すると、分子と分母の3次方程式を解くことで実根と虚根が得られます。その後、ランプ応答を求めるために計算方法を検討していますが、うまくいっていません。

回答No.8

noname#101087

ステップにわけて整理するのが良さそうですね。

[部分分数展開]
確かに「連立方程式」を立てて解くのも一策です。
当方のやり方は、展開結果を想定して各項ごとに定数 {A, B, C1, C2} を別々に求めてます。
コメント (ANo.1) では伝達関数の零点を勝手に決めてスタートしてます。

>　　F(s) = G(s)/s^2 = (s-1)(s-1-j)(s-1+j)/{(s+1)(s+1-j)(s+1+j)s^2}　　……(1)
>　　　　　= A/(s+1) + B/(s+1-j) + B~/(s+1+j) + C1/s + C2/s^2　　……(2)
>まず C2 を求める。
>　　C2 = [(s^2)*F(s)]_s=0 = -1
>　　差し引き勘定。
>　　E(s) = F(s) - C2/s^2 = (2s^2+8)/{(s+1)(s+1-j)(s+1+j)s}

このくだりでは、式(2) の左辺に s^2 を掛けて、
　　s^2*{A/(s+1) + B/(s+1-j) + B~/(s+1+j)}+ s*C1 + C2
としてから s=0 を代入すると、結果が C2 であることを利用するわけです。
これを左辺について勘定して、
　　C2 = [(s^2)*F(s)]_s=0 = [(s-1)(s-1-j)(s-1+j)/{(s+1)(s+1-j)(s+1+j)}]_s=0 = (-1)(-1-j)(-1+j)/{(+1)(+1-j)(+1+j)} = -1
を得ます。

このあと「差し引き勘定」しているのは、s が2位の極なので、1位の極の留数を別途求められるようにするためです。
ほかの {A, B, C1} も同じ考え方で求まりますのでお試しを。
この「項別代入」と、「連立方程式」とどちらがプログラムし易いかもお考えください。

[蛇足]
>エクセルでグラフを描いたら上下反転したグラフになってしまいました。

それが正解。(ANo.3 にコメント)
>(奇数次なので、極性は反転してます)

さしあたり、こんなとこでしょうか。

お礼

ご回答頂きありがとうございます。
なるほど代数的な手法と留数定理による２つの方法を利用するわけですね。
大変参考になりました。
小生も最初、連立方程式を解くのが面倒になり、途中で留数を
使用して解こうとしましたが、EXP{(-σ±jω)t}がでてくるので、
これを更に分解して更にオイラーの定理
{EXP(jωt)+EXP(-jωt)}/2=COS(ωt)と
{EXP(jωt)-EXP(-jωt)}/(2j)=SIN(ωt)
にすることを考えると複雑な係数を計算するのが大変で挫折しました。

エクセルで描いたグラフが上下反転しているのが正解とのことですが、
知識の少ない小生の考えですが、違うと思います。
もともとむだ時間要素のランプ応答r(t)は推移定理
[f(t-L)]=F(s)e^-(Ls)を利用して
r(t)=L^-1[e^(-Ls)/s^2]=t-Lとなります。
これは無駄時間t=L後、傾き1で右上がりの直線になります。
よって、パデ近似したものもt=Lまでは多少振動しても右上がりになる
と考えられますがいかがでしょうか。

補足

推移定理のところ間違えました。ネットの神様ごめんなさい。
『[f(t-L)]=F(s)e^-(Ls)を利用して』ラプラス変換演算子Lが抜けてました。
正しくは『L[f(t-L)]=F(s)e^(-Ls)を利用して』です。