制御工学における無駄時間要素をパデ近似(3次/3次)したときのランプ応答について

質問

• 制御工学において、無駄時間要素をパデ近似(3次/3次)した場合のランプ応答について調査しています。
• 無駄時間要素を無駄時間Lとし、伝達関数はG(s)=e^(-Ls)と表わされます。
• 伝達関数をパデ近似(3次/3次)すると、分子と分母の3次方程式を解くことで実根と虚根が得られます。その後、ランプ応答を求めるために計算方法を検討していますが、うまくいっていません。

回答No.7

noname#101087

>無駄時間係数がどんな場合でも.....

なるほど、スケーリングの問題ですね。いろんな処理策があります。
一例だけ。
e^(-s) について r(t) の「グラフに描けるように」しておき、e^(-Ls) の場合には、時間軸を r(t) の L 倍にする方法。
これなら、途中をいちいちやり直す手間は不要です。

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ANo.5 のコメント。

>>e^(-Ls)={1-(Ls)/2+(L^2*s^2)/10-(L^3*s^3)/120}/{1+(Ls)/2+(L^2*s^2)/10+(L^3*s^3)/120} ....
>EXCEL で NEWTON 求根して、一次項で規準化(normalize)してみました。Bessel 多項式と一致。
>　　(s+1.00)(s+0.792+j*0.756)(s+0.792-j*0.756)

ここで、分母式のスケーリングいじりをしてました。
　　e^(-s)={1-(s/2)+(s^2/10)-(s^3/120)}/{1+(s/2)+(s^2/10)+(s^3/120)}
の分母式について、
　　s^3+12*s^2+60*s+120 = (s+4.644)(s+3.678+j*3.509)(+3.678-j*3.509)
と分解して、因数ごとに s/4.644 を s と置きなおせば、
>　　(s+1.00)(s+0.792+j*0.756)(s+0.792-j*0.756)
になるわけです。(Bessel 多項式)

お礼

小生の方法で実施したところ問題が発生してしまい、こちらのほうに
ついてもアドバイスをいただければ幸いです。
小生が最初考えたやり方で以下のように答えを求めてみました。
　G(s)/s^2={(s-a)(s-σ-jω)(s-σ+jω)}/{s^2(s+a)(s+σ-jω)(s+σ+jω)}
　={(s-a)((s-σ)^2+ω^2)}/{s^2(s+a)((s+σ)^2+ω^2)}
　=A/s+B/s^2+C/(s+a)+{D(s+σ)+Eω}/{(s+σ)^2+ω^2)}
　についてA,B,C,Dの各係数を部分分数展開して求めました。
　上式を満たすためには以下の連立方程式を解く必要があります。
　A＋C+D=0
　(2σ+a)A+B+2σC+(a+σ)D+ωE=1
　(σ^2+ω^2+2aσ)A+(2σ+a)B+(σ^2+ω^2)C+aσD+aωE=-(2σ+a)
　a(σ^2+ω^2)A+(σ^2+ω^2+2aσ)B=σ^2+ω^2+2aσ
　a(σ^2+ω^2)B=-a(σ^2+ω^2)
　ここでσ^2+ω^2=Xとおくと上記連立方程式の答えは次のようになりました。
　A=2(X+2aσ)/(aX)
　B=-1
　C=-2(X+a^2+2a)/{a(X+a^2-2aσ)}
　D=4σ(X-a^2+2aσ)/{X(X+a^2-2aσ)}
　E=4σ(2aσ^2+σX-(a^2)*σ-2aX)/{ωX(X+a^2-2aσ)}
　これを次式に代入しました。
　L^-1[G(s)/s^2]=A+B*t+C*EXP(-at)+D*EXP(-σt)cos(ωt)＋E*EXP(-σt)sin(ωt)
　ところがエクセルでグラフを描いたら上下反転したグラフになってしまいました。
　(a=4.6443707092516、σ=3.67781464537391、ω=3.50876191956745)
　各係数をマイナスにすると求めようとするグラフになりました。
　各係数をマイナスするには、上記の連立方程式の右辺にマイナスを
　付加しなければ連立方程式が成立ちません。
　原因が分からず四苦八苦しております。お気づきになられた点など
　アドバイスいただければ幸いです。

補足

ご回答頂きありがとうございます。
申し訳有りませんが、ご教示頂いた内容が小生乏しい知識のため、
理解できません。申し訳ありませんが初学者にも分かりやすく
ご教示いただければ幸いです。分からないところを以下のように整理しました。
1)『e^(-s) について r(t) の「グラフに描けるように」しておき、
　e^(-Ls) の場合には、時間軸を r(t) の L 倍にする方法。
　これなら、途中をいちいちやり直す手間は不要です。』
　L-1[e^(-s)/s^2]=r(t)|_(L=1)とL-1[e^(-Ls)/s^2]=r(t)|＿(L=任意)
　の関係はどのような式で関係付けられるのでしょうか。
2)Bessel 多項式についてネットで検索してみましたが、
　理解できるものが有りませんでした。3次方程式の解を求めるとき
　ご使用されていると理解しましたが、その理解でよろしいでしょうか。
　カルダノの方法で解いても問題ないものと理解しましたがよろしいでしょうか。