• ベストアンサー

x[1]・x[2]・…・x[n]=1 ならば x[1] + x[2] + … + x[n] ≧ n

x[k]>0 (k=1,2,…,n)とする。 このとき、 x[1]・x[2]・…・x[n]=1 ならば x[1] + x[2] + … + x[n] ≧ n と予想しましたが、証明できるのでしょうか? また、 x[1] + x[2] + … + x[n] = 1 とすると、x[1]・x[2]・…・x[n] に関する何らかの不等式はあるのでしょうか?

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • age_momo
  • ベストアンサー率52% (327/622)
回答No.1

そのまま相加相乗平均ですね。 ( x[1] + x[2] + … + x[n])/n≧(x[1]・x[2]・…・x[n])^(1/n)=1 x[1] + x[2] + … + x[n]≧n 反対も同じです。 1/n≧(x[1]・x[2]・…・x[n])^(1/n) x[1]・x[2]・…・x[n]≦(1/n)^n

fjfsgh
質問者

お礼

そうでした。ありがとうございます。

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

関連するQ&A

  • e^x > Σ[k=0→n](x^k/k !) の証明です。

    e^x > Σ[k=0→n](x^k/k !) の証明です。 「x>0のとき、任意のn∈Nに対して、e^x>Σ[k=0→n]x^k/k !が成り立つことをTaylorの定理を用いずに示せ。」という問題です。Taylorの定理を使わない場合、どのように証明すればよろしいのでしょうか? 宜しくお願い致します。

  • x^n (1/xを含む)の微積分の求め方

    x^n(1/xを含む)の微積分の求め方で、1/xだけexpを使って積分しこれだけlog(x)となりますが、共通的にならないか・・・ということで、すべてexpで置換たらいいのではということで考えました。おおむね下記のような考えで丈夫でしょうか? 頭のリフレッシュということで30年ぶりに数学を再勉強中です。よろしくおねがいします。 A) x^n積分 x^n=exp(k) と置換 x=exp(k/n), k=log(x^n)=nlog(x) なので ∫1/x^n dx = ∫(1/exp(k)) dexp (k/n)/dk dk = ∫exp(-k)exp(k/n)/n dk = ∫exp(k(1-n)/n)/n dk ここで n=1 の場合は ∫(log(1),log(x)) exp(0)/n dk = ∫(0,log(x)) dk = log(x) ∫1/x dx = log(x) n=1 以外の場合は = (1/(1-n)) exp(k(1-n)/n) = (1/(1-n))exp((1-n)log(x)) = -(1/(n-1)) exp(-(n-1)log(x)) = -(1/(n-1)) exp(-log(x^(n-1))) ∫1/x^n dx = -(1/(n-1)) (1/x^(n-1)) n=-nと置換えると ∫x^n dx = (1/ (n+1)) x^(n+1) B) 微分も同じように x^n=exp(k) と置換 x=exp(k/n), k=log(x^n)=nlog(x) なので dx^n/dx = dexp(k) /dx = (dexp(k) /dk)(dk/dx) = exp(k) dlog(x^n)/dx = exp(k) n dlog(x)/dx = exp(k) n (1/x) x^n=exp(k) なので = n x^n /x^-1 = nx^(n-1)

  • [ ]はガウス記号を表し、一般に不等式 x-1<[x]≦x および [

    [ ]はガウス記号を表し、一般に不等式 x-1<[x]≦x および [x]≦x<x+1 である。 (I) lim(n→∞)[2*e^n+1]/e^n 自然数nに対し等式 [logk]=n が成立するような整数kの個数をf(n)とする。このとき以下を求めよ。 (II) lim(n→∞)f(n)/e^n+1 高校生です。できるだけわかりやすく説明していただければ幸いです。

  • Tf(φ)=∫(R^n)f(x)φ(x)dx

    Tf(φ)=∫(R^n)f(x)φ(x)dx が超函数であることを証明したいんですけど u は線形汎関数であることと ∀K⊂Ω:compact,∃Ck>0,∃mk∈Z+,s.t.|<u,φ>|<=Ck sup(x∈K)Σ(|α|<=mk)|δ^(α)φ(x)|, ∀φ∈D(K) の2つを示せればいいことまではわかったんですけど ここからが。。。。。。。 どなたか証明お願いします

  • e^x-(x^0/0!+…+x^n/n!)>0

    f[n](x)=e^x-(x^0/0!+x^1/1!+…+x^n/n!)>0を示せ n=0のとき成立 n=kのとき成立すると仮定すると n=k+1のときf[k+1](x)=f[k](x)-x^(k+1)/(k+1)!となったのですがこれが0より大きいと示す方法が分かりません 教えてください

  • e^x-(x^0/0!+…+x^n/n!)>0

    f[n](x)=e^x-(x^0/0!+x^1/1!+…+x^n/n!)>0を示せ n=0のとき成立 n=kのとき成立すると仮定すると n=k+1のときf[k+1](x)=f[k](x)-x^(k+1)/(k+1)!となってこれが正を示すときに別の質問で(f[k+1](x))'を使って増減表を書くと聞いたのですが(f[k+1](x))'=e^x-(x^0/0!+x^1/1!+…+x^k/k!)が0になる場所はわかるのでしょうか?

  • cos(x/2)*cos(x/2^2)*・・・・・cos(x/2^n)

    実数x及び自然数nに対して a_n=cos(x/2)*cos(x/2^2)*・・・・・cos(x/2^n) とする。 (1)2^n*a_n*sin(x/2^n)の値はnと無関係に一定であることを証明せよ。 (2)log|a_n|をxで微分することにより、 Σ(n=2~∞)1/2^n *tan(π/2^n)=1/π であることを証明せよ この問題に取り組んでいます。 (1)で2^n*a_n*sin(x/2^n)の計算を行っていて、いろいろな三角関数の公式を利用してみたのですが全然うまくいきません。「nと無関係」ということはnが消えればいいということだと思うのですが・・・。 (2)はloga_nを微分したところ -1/2 tan(x/2) - 1/2^2 tan(x/2^2) -・・・となったのですがここから証明すべき式に変形するにはどうしたらいいのでしょうか? 回答いただければありがたいです。よろしくお願いします

  • Σ{n=0~∞} (x^n)((x-1)^2...

    Σ{n=0~∞} (x^n)((x-1)^2n) /n! …(1) ってどういう風に考えたら e^x(x-1)^2とおけるのでしょうか? テーラー展開の考え方を使うというのはわかるのですが e^x(x-1)^2ってテーラー展開したら Σ{n=0~∞} (x^n)((x-1)^2n) /n! なりますか? テーラー展開は最近知ったばかりでよくわかりませんが、 f(x)=f(a)+f'(a)x/1!+f''(a)(x^2)/2!+f'''(a)(x^3)/3!+... …(2) という式はしってます。 (証明とかはわかりませんが、基本的なsinxとかのテーラー展開はできます) よくわからないのが、(1)式だと、分母がn!のときに分子のxが3n乗になってしまうのがよくわかりません。(2)式のとおり行く分母がn!のときに分子のxがn乗以外にはならない気がするのですが。。。 それともこれはF(x(x-1))=e^x(x-1)^2としてΣ{n=0~∞} ((x(x-1)^2)^n) /n!と考えるのでしょうか?

  • (1)aを1より大きい実数とする。0以上の任意の実数xに対して、次の不

    (1)aを1より大きい実数とする。0以上の任意の実数xに対して、次の不等式が成り立つことを証明せよ。   log2+(x/2)loga≦log(1+a^x)≦log2+(x/2)loga+{(x^2)/8}(loga)^2 (ただし対数は自然対数) (2)n=1,2,3,…に対してa[n]=[{1+3^(1/n)}/2]とおく。(1)の不等式を用いて極限lim[n→∞]a[n]を求めよ。 (1)の(第一式)≦(第二式)は証明できたのですが、(第二式)≦(第三式)の証明の仕方が分かりません。よろしくお願いします。

  • 数学的帰納法

    nは自然数とする。次の等式が成り立つことを証明せよ。 x^(n+2)+y^(n+2)=(x^(n+1)+y^(n+1))(x+y)-xy(x^n+y^n)・・・(1) n=kのとき 上の等式にkを代入して成り立つと仮定する。(この等式を(2)とする) n=k+1のとき このとき(1)の右辺にn=k+1を代入すればあらわれる(x^(k+2)+y^(k+2))に(2)の右辺を代入するんじゃないか。 ぐらいしか思い浮かばないんですが、なにか策はありますか?

Windows10からWindows11に移動
このQ&Aのポイント
  • Windows10からWindows11への移行方法について教えてください
  • パソコン初心者でも簡単にWindows10からWindows11に移動する方法を教えてください
  • Windows10からWindows11にアップグレードする際の注意点と手順について詳しく教えてください
回答を見る