- ベストアンサー
「ωのワルツ…もといω^-1」
自信がないので確認したく、よろしくお願いします。 普通の「x=n^m」を考える場合、「mがマイナス値」だった場合 x=1／n^|m| …というような…巧く表現できません、ごめんなさい。 つまりnが2だったなら 2^ 2=4 2^ 1=2 2^ 0=1 2^-1=1／2 2^-2=1／4 2^-3=1／8 となりますよね。 とりあえずここまでは巧く表現できていない問題はあるものの 構造的に大きな間違いはないとおもわれます。 n^ mなら(1に)nをm回 かける n^ 0なら(1に)nを かけも割りもしない。だから1 n^-mなら(1を)nでm回 割る … なぜなら 「nで割る」というのは「1／nをかける」と同じだから、ですよね。 自信がないのはi^0やi^-1やω^0やω^-1です。 単位円とΘを信じると i^ 5=i i^ 4=1 i^ 3=-i i~ 2=-1 i^ 1= i i^ 0= 1 i^-1=-i i^-2=-1 ω^ 4=ω ω^ 3=1 ω^ 2=ω^2 ω^ 1=ω ω^ 0=1 ω^-1=ω^2 ω^-2=ω ω^-3=1 これは僕の「きわめて大きな勘違い」なのか 「(厳密にはともあれ、おおむね)正しい」のか おしえてください。 この「ωやiを理解する一歩」にどうか自信を与えてください。 僕は単位円をおおむね正しく理解しているのでしょうか。 つまり自信をもって 「ω^3=ω^-3だ」とか「ω^-1=ω^2だ」とか言ってよいのか、 ということです。
- みんなの回答 （6）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
こんばんは。 ｉをかければ、反時計周りに９０度、 ｉで割れば、時計回りに９０度 ですね。 まじめに計算してみますか。 ｉ^(-1) ＝ １／ｉ ＝ （１×ｉ）／（ｉ×ｉ） ＝ －ｉ 合格 ｉ^(-2) ＝ １／（ｉ×ｉ） ＝ １／（－１） ＝ －１ 合格 ωをかければ、反時計周りに１２０度、 ωで割れば、時計回りに１２０度 たしか、ω ＝ （－１ ＋ √３・ｉ）／２ でしたっけ？ ω^(-1) ＝ ２／（－１ ＋ √３・ｉ） ＝ ２（－１ － √３・ｉ）／（－１ ＋ √３・ｉ）（－１ － √３・ｉ） ＝ ２（－１ － √３・ｉ）／４ ＝ （－１ － √３・ｉ）／２ ＝ ω^2 ＞＞＞＞＞ これは僕の「きわめて大きな勘違い」なのか 「(厳密にはともあれ、おおむね)正しい」のか おしえてください。 この「ωやiを理解する一歩」にどうか自信を与えてください。 僕は単位円をおおむね正しく理解しているのでしょうか。 つまり自信をもって 「ω^3=ω^-3だ」とか「ω^-1=ω^2だ」とか言ってよいのか、 ということです。 実数乗であれば大丈夫だと思います。（整数でない数、負の数でも大丈夫。） 今まで、その考え方で困ったことはないです。 ｅ^(iθ) の形で計算するほうが楽かもしれませんね。 単位円の方程式は、ｚ＝ｅ^(iθ) ｅ^0 ＝ １ θ＝０ ｅ^(2iπ/3) ＝ ω θ＝２π／３ ｅ^(4iπ/3) ＝ (ｅ^(2iπ/3))^2 ＝ ω^2 θ＝４π／３ ｅ^(-2iπ/3)＝ｅ^(2iπ-2iπ/3)＝ｅ^(4iπ/3)＝ω^2 θ＝４π／３ ｅ^(-4iπ/3)＝ｅ^(2iπ-4iπ/3)＝ｅ^(2iπ/3)＝ω θ＝２π／３
その他の回答 (5)
- looker1986
- ベストアンサー率48% (30/62)
本題に関しては解決しているように思いますが、 参考までに書いておきます。 ω^ 3=1なので ω^ 0=ω^ 3/ω^ 3=1 ω^-1=ω^ 2/ω^ 3=ω^ 2 ω^-2=ω^ 1/ω^ 3=ω^ 1 ω^-3=ω^ 0/ω^ 3=1
お礼
有り難うございました＾ω＾
- nettiw
- ベストアンサー率46% (60/128)
複素数平面上でも単位円と呼びます。 基本的に、貴方の記述は、’’正しい’’です。 ----- 複素数平面で、α=√3+iは、 極形式で、 α=(2^1)[(√3/2)+(1/2)i] =(2^1)[cos30度+i・sin30度] |α|=2, 偏角30度 です。 ド・モアブルの定理により、 α^1=(2^1)[cos30度+i・sin30度] α^2=(2^2)[cos60度+ i・sin60度] α^3=(2^3)[cos90度+ i・sin90度] α^0=(2^0)[cos 0度+ i・sin 0度] α^-1=(2^-1)[cos(-30)度+ i・sin(-30) 度] α^-2=(2^-2)[cos(-60)度+ i・sin(-60) 度] α^-3=(2^-3)[cos(-90)度+ i・sin(-90) 度] |α|はの変化は累乗ですが、 偏角θは、２倍、３倍と３０度ずつ変化します。 ---- 円分方程式。 nを自然数として、x^n=1 を円分方程式と呼びます。 解は全て複素平面上の、 原点Ｏを中心とした、半径１の円周上にあります。 （単位円上にあります。） x^3=1 の解が１、ω、ω^2 です。 ωは、１の３乗根の虚数解のひとつと定められています。 仮にω=(-1+i√3)/2とします。 ω^3=1, ω^2+ω+1=0 は御存知の通りです。 ω^-3=cos(-360度)+i・(-360度)=1 ω^-2=cos(-240度)+i・sin(-240度)=ω ω^-1=cos(-120度)+i・sin(-120度)=ω^2 ω^0=cos 0度 +i・sin 0度=1 ω^1=cos120度 +i・sin120度 ω^2=cos240度 +i・sin240度 ω^3=cos360度 +i・sin360度=1 となります。 x^4=1 の解は、1,i,-1,-i です。 同様に貴方の書いている通りです。 ----
お礼
有り難うございました＾ω＾
補足
遠い昔に < x^3=1 の解が１、ω、ω^2 です。ωは、1の3○根の虚数解のひとつ このへんのことを教わったことを今再び教わったことでおもい出しました。 僕の「理解」しやすい言葉でカッテに表現すれば x^3=1の一周邂(解)がωで二周邂がω^2で三周邂が1なのですね。 同様に、x^2=1であれば一周邂が-1でニ周邂が1ということですね。 x^4=1でもx^n=1でも360°をn等分した点が解となるワケですね。 iはx^2=-1の解 i、-i の内の一方と捉えると同時に x^4=1の1周邂と捉えておこうということですね。 -1が二周邂、-iが三周邂、1が四周邂。 とりあえず「x^n=1」について 今までよりも理解がふかまったとかんじます。 有り難うございました。
- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
整数乗であれば、それで「とりあえず正しい」です。 指数を実数まで広げてしまうと、ちょっと微妙な部分があります。 複素数の範囲では、a^b の値はひとつに決まるとは限りません。 その辺の詳細は、掲示板の字数ではとても説明しきれないので、 自分で本を読んでもらうしかないのですが… 複素数 a,b について、 a^(-b) がとりえる値のどれに対しても a^b がとりえる値のうちひとつが対応して a^(-b) = 1/(a^b) が成立する。 …とでも言えば正確かと思います。 b が整数であれば、a が負数であろうと虚数であろうと a^(-b) も 1/(a^b) も値が１個に定まるので、 a が実数の場合と同じく a^(-b) = 1/(a^b) として構いません。
お礼
有り難うございました＾ω＾
- egarashi
- ベストアンサー率40% (34/83)
nを整数とすると、 i^4n=1 i^4n+1=i i^4n+2=-1 i^4n+3=-i ω^3n=1 ω^3n+1=ω ω^3n+2=ω^2 でいいんじゃないの？単位円がどう関係してるかよくわからんが…実際に計算すればわかる。
お礼
有り難うございました＾ω＾
補足
有り難うございます。 単位円についてはano1さんの補足に書かせていただきました。 「ωやiに単位円がカンケイしてこず、計算すればいい」 この回答にはきわめて賛同できませんが ようするに僕は「^n」の nが負だったときの振る舞いの理解 に自信がないだけなのです。 これは回答を貰ってやっと気付いたことなので、 そういうイミで回答はやくにたちました。 egarashiさんの回答のシキ自体は 僕の単位円の使いかたの正しさ？の一つのウラヅケにもなりました。 有り難うございました。
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
>単位円とΘを信じると Θって何？ そして、実際に計算してみることを勧めたい。 使うのは √(-1) を二乗すると -1 になることだけ。
お礼
有り難うございました＾ω＾
補足
すみません。スウガクに暗いため表現に不備があるとおもいます。 そして計算してもそれが正しいか自信がないのです。 僕にとっての自信のウラヅケになりません。 それは僕のシツ問のていどのひくさから解っていただけるとおもいます。 Θは単位円の°のつもりで書きました。 単位円上の値に単位円上の値をかける(割る)ということは その値がもつΘを足したり引いたりすることだと 僕は理解しています。 これはほとんど計算ではありません。 足しざんと引きざんではありますが、 単位円というツールを使った「理解」です。 単位円上(というか複素平面上の円)の値に 1をかければ360°足され、1で割れば360°引かれ、 -1をかければ180°足され、-1で割れば180°引かれ、 iをかければ90°足され、割れば引かれ、 -iをかければ270°足され、割れば引かれ、 ωをかければ120°足され、割れば引かれる。 問題は、 「x=n^-m」などの時に「x=n^mで割っている」という理解が 正しいのかどうかということです。 正しければ、僕は自信をもって i^-2=-1 i^-3=i ω^-1=ω^2 ω^3=ω^-3 と言えるのです。 しかし間違いがあれば困るので 誰かに「正しいよ」と言ってもらいたいのです。 僕の様なスウガクに暗いものは理解できるツールしか使えず、 そのさきを理解しようとしてもできないのです。 だから解る様に解りたいという甘えなのです。 すみませんでした。 スウガクに暗い者の苦肉の独自の理解のしかたに できれば iのテを。
お礼
有り難うございました＾ω＾
補足
有り難うございます。 とりあえず「正しい」ということは解りました。 そして、みなさんの回答によって 「計算の重要性」というのがかんじとれました。 僕からすれば「計算してみれば？」というのは 「できる人の論理」で、 できない僕からみればツキハナシであり、 できる人からみれば甘えにほかなりません。 実際に計算をみせてもらうとこれは、 ギリギリ理解できるものでありました。 つまり、薔薇という漢字を「書け」と言われて書けなくとも 「よめ」と言われたら「バラ」とよめるというケースと同じで、 実際に計算を「よませてもらってみたら」 「自ら計算しろと言われても自信が伴わない」ものであっても （つまり薔薇ってこんなかんじだっけ？というものであっても） よませてもらうことで何とか理解できる ということを味わいました。 ano1さんの回答もano2さんの回答も僕に計算力があればとて も有効な回答であったかも知れませんね。 あらためて、しつれいしました。 そして、有り難うございました。