「小さい人参４本と大きい人参３本はどちらがオトク？ 」 という問題はフェルミ推定で解けるか？

質問

数学の素人からのバカな疑問かもしれませんが、モヤモヤしているのでちょっと質問させて下さい。

フェルミ推定というものを最近知ったのですが(全国に電柱は何本ある？　とか、全国にピアノの調律士は何人いる？　など、到底答えられなさそうな数量を身の回りにある数値だけを使って誤差１割前後の概算を出す方法の事と思っています)、これを応用して、

「小さい人参４本と大きい人参３本が同じ値段で売られていた場合、どちらがオトク？　」

という問題は解けないでしょうか。

例えば、電柱の例で言えば、
・全国の国土を「概算で」割り出す
・100ｍ四方にある電柱の本数(都会・田舎の２パターン)を「概算で」出す
・都会・田舎の全国における面積比率を「概算で」出す
といった概算要素を掛け合わせ、誤差１０％前後に数値を割り出す、と行ったものなのですが、主題の件は解けないでしょうか？　

そもそも、近所のスーパーで、問題通り小さい人参４本と大きい人参３本が同じ値段で売られている、というのを自分で体験して、どちらがお得なのだろう、フェルミ推定で解けないか？　と思ったのが発端でした。

一個の人参を小さい要素単位に切り分け、それを掛け合わせようと思ったのですが、どの辺りまで小さい単位に切り分けるのか、あるいはこの算出方法自体の選定に誤りがあるのか、なかなか心が一つに留まらずに算出が上手くいかないので、どなたか
・こういう風に計算したらどうか。
・算出方法の選定が正しくなく、単位が決まっていないものはフェルミ推定で解けない。
・カテゴリーが違います。
・その他雑学・諸知識
などの回答を頂ける方がいらっしゃいましたら、回答頂きたく宜しくお願い致します。

このフェルミ推定を編み出したのはフェルミという物理学者だったので、物理カテゴリーに質問すべきかと悩みましたが、数学のカテゴリーに質問させて頂く事にしました。

変な質問で大変恐縮ですが、宜しくお願い致します。

回答No.2

funoe · ベストアンサー

まず、問題を明確化する必要がありそうです。

「全国の電柱の数」は、電柱とはどのようなものであるかを定義・確認しておけば、
実際に調べるのは無茶苦茶大変だけど「正解のある問題」です。

おなじように「どちらが得か」についても、どのようなときに「得」とするかを定義・確
認しておくことが必要です。
単純に総重量が多ければよいのか、皮をむきヘタを取った状態の重量で比べるの
か、あるいは含有糖分量で比較するのか、他に転売するときの転売可能価格で
の比較なのか、などを定義する必要がありそうです。
また、実際には「ニンジンをどのくらい食べたいか、ニンジンを料理に使う予定が
あるか」などにも大きく影響されそうで、「得」の定義はかなり難しいでしょう。

次に、「人参４本と大きい人参３本が同じ値段で売られていた場合」についても、
対象となるお店があなたの近所のスーパーに限定した話なのか、日本全国の
八百屋さんにまで範疇に入れた問題なのか、あるいは全世界のことなのかを定義
しておく必要があるでしょう。

おそらく、あなたの本心は、「近所のスーパーに限定して、今後、ニンジン3本セットと
4本セットを同価格で販売していたら、どちらが食べる部分が多いか」といったモノと
思われますが、それならば、それぞれ適当な数量を購入して、重さを計るなどの比較
実験をしてみれば良いわけです。
とても、「いくつかの仮説を複合して、概算を算出する」といった手法が適当とは思えません。

以上のことを踏まえますと、あなたの考えている問題を検討する手法として
「フェルミ推定」は妥当ではないでしょう。

お礼

いやー、私のバカな質問に付き合って頂きありがとうございます。
学者肌の方が結構いらっしゃるようで、こんな質問をしてしまい何だか恐縮です。

まず問題の定義ですが、
・単純な量(体積or重さ)はどちらが多いか？　重いか？
・対象は飽くまで個人購入時。
と問題は極力単純化したいと思っています・・・と書いた所で、

> おそらく、あなたの本心は、「近所のスーパーに限定して、今後、ニンジン3本セットと
> 4本セットを同価格で販売していたら、どちらが食べる部分が多いか」といったモノと
> 思われます
・・・その通りです。巨視的な視点を持てない小市民なので＾＾；
人参の10g多い！　みたいな所に一喜一憂してしまうんですね(自虐)。

> それならば、それぞれ適当な数量を購入して、重さを計るなどの比較
> 実験をしてみれば良いわけです。
はい、ちょっとやってみました。Ano.1さんへの補足をご覧下さい。

回答ありがとうございました。
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尚、蛇足かもしれませんが、今回の経験則とそれを踏まえた算出式を書いておきます。

今回の経験則として、
い）直径は人参の大小に関わらず4～5cmである事(余り変わらない)。
ろ）今回のサンプルの長さは小：12cm、大：16cmとあったが、
　　スーパーには小並の大きさで３本セットで売られているものもあった事。
　　(可変である)
は）フェルミ推定ではほぼ１割の誤差があった事。

があったのですが、半径(固定)、長さ(可変)と考えると、

πr^2　*　Length　* 0.9　*　本数

更にr=2.5、π=3.14を代入したとして、

17.7*　Length　*　本数

17.7を定数hに置き換えると、

h　*　Length　*　本数

となり、私の飛躍三段論法によれば、
結局総量は長さ×本数に帰結する、という近所のおばちゃんでも
分かるような話になってしまいました。

回答No.1

debukuro

数学で解ける問題ではないと思います
仮に、人参を限りなく小さくしても総質量は不変です
ところが料理をするときは「へた」を取り除きます
そのときに切り捨てる人参の部分の量は道具と作業の性質から人参の大きさにかかわらず絶対量はほとんど同じになります
ですから廃棄率は大きい人参の方が低くなるのでお得
ただし巣が入っていないことが条件です
「おし」率は小さくなるほど大きくなるのが普通です

お礼

御礼が遅くなって申し訳ありません＆回答ありがとうございます。

ちょっと時間がかかりましたが、ほぼ自己解決となってしまいました。
質問の『「小さい人参４本と大きい人参３本はどちらがオトク？　」　という問題はフェルミ推定で解けるか？』
について、算出された値が正確かどうかという事は除いて、
算出できる、という結論を私自身で出しました。

電柱が～や、ピアノの調律士が～等の視点等、個数単位が決まっている観点から
考えるのがダメだったようです。
微積してもダメでしたね。

算出方法についてはそれこそ数学の分野から離れてしまうと思うのですが、
「目測で大体何cmと出してそれを四角柱、あるいは円柱として算出する」
という事になります。

仮に、下記サンプルを用意した場合の算出結果をそれぞれ書くと、
(a).小さい人参4本
　　長さ：15cm
　　へた側の直径：4cm

　　円柱に近似したとして、15cm*(4cm/2)^2*π*4本=753.6cm2

(b).大きい人参3本
　　長さ：20cm
　　へた側の直径：5cm

　　円柱に近似したとして、20cm*(5cm/2)^2*π*3本=1177.5cm2

となり、大きい人参三本を買った方がオトク、という事になります。
勿論、この後にも補足等で色々書かせて頂きますが、人参のサンプルの取り方にも
いろいろあると思いますし、場合によっては逆転する事もありえますね。

上記例では円柱に近似しましたが、本来のフェルミ推定ではどれだけ大雑把に推定するかも
求められるようなので四角柱への近似になるかと思います。
(全国の電柱が～の例では、日本列島の面積を求めるのに、長方形で近似していたくらいですから。)

尚、四角柱で近似した場合、
(a).960cm2
(b).1500cm2
と1.5倍もの差が開いてしまいますね・・・(汗)。

フェルミ推定で得られる解をいかに正解に近づけるか、ではなく、
フェルミ推定で算出可能か？　という思考実験がお題の本質である事に気が付かず、
当初は混乱していましたね。失礼しました。

補足

御礼の内容に書いただけでは片手落ちだと思いましたので、
実際に問題の発端である人参を買ってきて、実際に測定してみました。

ここから物凄く数学に関係しなくなりますのでご注意下さい。
単位やら小数点やらの記述方法で突っ込みがビシバシ入るかもしれませんが、
ご容赦下さい＾＾；

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(a)` ：小さい人参4本(長さとヘタ側の直径、円柱の近似値、四角柱の近似値を記載)
　　a.12 cm×4.5cm　　190.755cm2　　243cm2
　　b.13 cm×4 cm　　163.280cm2　　208cm2
　　c.12 cm×4 cm　　150.720cm2　　192cm2
　　d.12 cm×4.5cm　　190.755cm2　　243cm2

計：
円柱の近似値　：695.510cm2
四角柱の近似値：921cm2

(b)` ：大きい人参3本(同上)
　　e.16.5cm×4.5cm　　262.288cm2　　334.125cm2
　　f.16 cm×4.5cm　　254.340cm2　　324cm2
　　g.17.5cm×5 cm　　343.438cm2　　437.5cm2

計：
円柱の近似値　：860.066cm2
四角柱の近似値：1095.625cm2

となります。
実測した長さだけでの推定比率は、
円柱の近似値　：(a)`:(b)`≒696:860≒1:1.24
四角柱の近似値：(a)`:(b)`≒921:1095≒1:1.19

というような形で2割程度(b)` ：大きい人参3本の方が推定上はオトクである。
という事になります。

ただ、これでもやはり推定なので、重さも量ってみる事にしました。

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(a)`` ：小さい人参4本(実測の重さと皮を剥いた後の重さを記載)
　　a.12 cm×4.5cm、115g、101g
　　b.13 cm×4 cm、143g、127g
　　c.12 cm×4 cm、129g、113g
　　d.12 cm×4.5cm、117g、102g

計：
実測の重さ　　　　：504g
皮を剥いた後の重さ：443g

(b)`` ：大きい人参3本(同上)
　　e.16.5cm×4.5cm、216g、192g
　　f.16 cm×4.5cm、164g、127g
　　g.17.5cm×5 cm、200g、178g

計：
実測の重さ　　　　：580g
皮を剥いた後の重さ：497g

実測の重さ　：(a)``:(b)``≒504:580≒1:1.15
皮を剥いた後：(a)``:(b)``≒443:497≒1:1.12

という事で、実測も大きい人参三本がオトクでした。
更に並べて見てみると、
円柱の近似値　：1:1.24
四角柱の近似値：1:1.19
実測の重さ　　：1:1.15
と、数学的には正確な算出ではなかったかもしれませんが、
概算でここまで近似できる事に、自分自身、正直びっくりしています。
本当にほぼ一割の誤差になってしまいました。

本来であれば、円柱どころか三角錐くらいに近似しなければならないのに、
四角柱まで近似しているのはフェルミ推定だからと思って下さい(汗)。

ただ、心残りは実際に７本買っている時点でオトクかどうかは
関係無い事ですかね＾＾；

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ps.現在上記の７本の人参の内、３本を何とか料理しましたが、
　　それ以上は無理でした。
　　２本は生で食べてみました(意外とおいしい)。
　　が、それ以上食べるのは無理だったので(当然)
　　残り２本は皮を剥いた状態で冷蔵庫にしまってあるという
　　バカをやっております。