δをつかった式

質問

物理の計算なのですが、数学に近い要素があったので
こちらで質問しました。

測定値a,bに一定の誤差が生じる。
これらa,bに関する関係式はX=a^2-b^2で
誤差を含んだ測定値をa+δa,b+δbとする。
このとき関係式は
X=a^2-b^2+2(aδa-bδb)+(δa^2-δb^2)
となる。
このときもっとも値に影響を及ぼすのは第二項である。

とあったのですが、なぜ第二項なのですか？
値が大きく変化する理由を教えてください。

回答No.4

noname#26313 · ベストアンサー

＃２です。
取り扱われているケースの紹介有難うございます。

理想的には、δa、δb が 0 で、X=a^2-b^2 となるところですね。
しかし、a、b とも誤差は避けられず、a±δa、b±δb となる。とすると、
(a±δa)^2-(b±δb)^2=(a^2-b^2)±2(aδa-bδb)+(δa^2-δb^2)
となるのでしょうか。
±2(aδa-bδb) は、δa、δb が異符号となる場合があることを考えると
X に大きく影響することも考えられなくはないのかもしれません。

δa、δb において、正負の符号を取り得るとされているなら、このことは
既に考慮されていることになりますが。

お礼

詳しくありがとうございました！

回答No.3

noname#101087

#1です。誤算訂正。
第三項
(δa)^2=a^2((δa/a)^2)=a^2*(0.0009)
(δb)^2=b^2((δb/b)^2)=b^2*(0.0009)

a^2,b^2 の計算結果が含むであろう誤差は、第二項分が6%、第二項分が0.09%、です。

回答No.2

noname#26313

どのような場合を扱っておられるのか分かりませんが、
普通のセンスからすると、
δa^2-δb^2
は二次の微小であり、一次の微小
2(aδa-bδb)
に比し、小さいとして省略されることがしばしばあります。

何を扱っておられるのか、示して頂けませんか。

補足

落下運動の加速度の測定で、
器具が製品ごとに誤差が生じるそうです。
それを「一定の誤差」として、
また１つの実験で２つの製品を同時に使用するため、
それぞれを測定値a+δa,b+δbとしました。
加速度を求める式から
2ax=v^2-V^2
のvとVにそれぞれを代入して計算をしています。

回答No.1

noname#101087

「誤差」のパーセンテージ(%)の例を代入してみるのがわかり易いでしょう。

例えば、誤差を含んだ測定値 a+δa,b+δb がどちらも 3% としてみる。つまり、
　a+δa=a{1+(δa/a)}
　b+δb=b{1+(δb/b)}
にて、(δa/a)=(δb/b)=0.03(3%) だとする。
第二項 = 2(aδa-bδb)
第三項 = (δa)^2-(δb)^2
の誤差を見積もる。
第二項
2(aδa)=a^2{2(δa/a)}=a^2*(0.06)
2(bδb)=b^2{2(δb/b)}=b^2*(0.06)
第三項
(δa)^2=a^2((δa/a)^2)=a^2*(0.0036)
(δb)^2=b^2((δb/b)^2)=b^2*(0.0036)

a^2,b^2 の計算結果が含むであろう誤差は、第二項分が6%、第二項分が0.36%、です。
つまり第二項分が支配的だと実感できるでしょう。