極限です＞＜

質問

θ→0 lim sinθ／θ　＝　１　
の証明を教えて下さい＞＜

回答No.5

arrysthmia

御質問の極限は、三角関数を微分するための基礎中の基礎です。
このような基礎事項を証明するためには、関連する用語の定義
を確認することが何より大切です。それを怠ると、循環論法が
容易に生じてしまいます。

この場合は、sin の定義は何か？ が重要。
三角関数の定義にはイロイロあって、教科書により異なります。
結局、どれでも同値なのですが、それらが同値になることには
証明が必要です。

三角関数の定義が三角比に依るものならば、扇形の面積を用いた
証明がよいでしょう。

テーラー展開した級数そのものを sin の定義とするやり方もあり、
その場合には、No.3 の方法１がよいかと思います。

回答No.4

proto

＃３さんの方法はあまりおすすめ出来ません。
なぜならlim[x→0]{sin(x)/x}=1の証明は三角関数の微分法の基礎になるものだからです。

＃３さんの方法はどちらもsin(x)の微分を必要とします。
しかしlim[x→0]{sin(x)/x}=1が示せなければ{sin(x)}'=cos(x)を示すこともできません。
ですから＃３さんの方法では循環論法になるため、普通lim[x→0]{sin(x)/x}=1を示せと言われたら微分を使わない方法で証明します。

いちばんよく目にするのは扇形の面積を上下から挟み込んで極限を取る方法です。

参考URL：

http://ufcpp.net/study/miscmath/lopital.html

回答No.3

mamoru1220

公式です。
しかし示すのであれば、sinθについてマクローリン展開をしてみてはいかがでしょうか。

【方法1】
分母が１乗なので、1次までのマクローリン展開をします。
剰余項をR3として表します。
sinθ = θ + R3　ですよね？
それを代入して、約分すれば1だとわかります。

【方法2】
ロピタルの定理を適用し、計算する。
与式 = lim(θ→0)(cosθ/1) = 1　です。

ほかにも方法はありますが、これが1番わかりやすいと思います。

回答No.2

connykelly

ネットではココ↓を参照。
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/d_triangle2.html

参考URL：

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/d_triangle2.html

回答No.1

koko_u_

教科書に載ってるはず。

高校生なら高校生向けのが、大学生なら大学生向けのがね。