タンジェントについて

質問

半径１の円に内接する三角形を考える。３つの内角の大きさをＡ，Ｂ，Ｃ（ただしC≧B≧A）としそれぞれの正弦の値α、β、γはいずれも整数とする。
（１）α、β、γを求めよ
（２）三辺の長さを求めよ。
という問題なんですが、タンジェントの値が整数になるのは45°と135°しかないですよね？この問題はどうやって解くのですか？

回答No.6

nettiw

>>　tanA、tanB、tanC、 (整数)
>>　A≦B≦C
>>　A+B+C=180度

　3A≦180度
　0度＜A≦60度
　0＜tanA≦√3

　　∴　tanA=1、　A=45度

　A(45度)=B(45度)=C(45度)　不可、
　A(45度)=B(45度)＜C(90度) 　不可、
　A(45度)＜B(67.5度)=C(67.5度)
　　　(tan67.5度)^2
　　=[1-cos135度]/[1+cos135度]
　　=[1+(1/√2)]/[1-1/√2)]
　　=[√2+1]/[√2-1]
　　=(√2+1)^2
　　tan67.5度=√2+1　不可、　

　　∴　A＜B＜C

　　90度＜C、
　　A+B＜90度、45度+B＜90度、B＜45度、不可、

　　∴　45度＜B＜C＜90度

　　B+C=135度
　　45度＜B＜67.5度、　67.5度＜C＜90度

　　tan45度＜tanB＜tan67.5度
　　　　　　1＜tanB＜√2+1＜3

　　∴　tanB=2

　C=135度-B
　tanC
　=tan(135度-B)
　=[tan135度-tanB]/[1+(tan135度)(tanB)]
　=[-1-2]/[1-2]=3

　　∴tanC=3　
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(tan45度,tanB,tanC)=(1,2,3)

sin45度=(1/√2), sinB=(2/√5), sinC=(3/√10)
　a/(1/√2)=b/(2/√5)=c/(3/√10)=2

　　∴　a=√2、b=4/√5、c=6/√10

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tan(A+B+C)=0

tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC
―ー―ー―ー―ー―ー―ー―ー―ーー =0
1-tanAtanB-tanBtanC-tanCtanA

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

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