全反射の問題です。
全反射の問題です。よろしくお願い致します。
問題
屈折率nAの円柱状のガラス棒Aがある。Aの上端面は中心軸に垂直で空気に接している。またAの側面は屈折率nBの媒質Bで囲まれている。Aの上端面の中心に、入射角αで入射した光の屈折角はβであった。空気の屈折率を1として、次の問いに答えよ。
3)光が媒質Bへ出ることなくAの中を進むためには、α、nA, nBの間にどのような条件が必要か。
答え:√(nA^2 - sinα^2)> nB
4)媒質Bが空気のとき、光はαの値にかかわらず全てAの中だけを進み、側面からは出てこなかった。媒質Bが水のとき、αの値によっては側面からも光がでてきた。ガラス棒Aの屈折率nAの取りうる範囲を示せ。ただし水の屈折率は4/3とする。
3)まではわかったのですが、4)がわかりません。
私は、
◎「媒質Bが空気のとき、Aの上端面の中心に、入射角αで入射した光はαの値にかかわらず全てAの中だけを進み、側面からは出てこなかった。」より、
媒質Bが空気→nB=1→(3)より、√(nA^2-sinα^2)>1-----●
◎また、「媒質Bが水のとき、αの値によっては側面からも光がでてきた。」より、
媒質Bが水→nB=4/3
側面から光がでてくるとき:sinα/sinβ=nB/nA, nA=4sinβ/3sinα-----★
全反射がおきて光がでてこないとき: sinα/ sinβ=nB/nA, nA=4/3sinα-----☆
★と☆より、4sinβ/ 3sinα<nA<4/ 3sinα
これと、●の両方を考慮して…としたのですが、ここで、うまくいきませんでした。
解説をみると、
前半は外が空気なら出てこないので全反射している。つまり、(3)の状態。
どんなαでも(3)の式を満足しているので、
√(nA^2-1)>1、∴nA > √2-----▲
後半は外が水なら「入射角αによっては全反射したりしなかったり」より、(3)がsinα=0では成立し、sinα=1では成立しないということ。
よって、
√(nA^2-1)<4/3< √nA^2
∴4/3 < nA < 5/3-----△
▲と△より
√2< nA <5/3-----答え
なのですが、この解説がよくわかりません。
質問1:▲について、(3)式にnB=1が代入されているのはわかりますが、sinα^2=1が代入されているのはどうしてですか?αは入射角ですが、これだと上端面に垂直に入れた場合に限定されると思います。でも、この問題では、αの値にかかわらず、全反射だと問題にあります。どうしてαは限定されているのでしょうか。
質問2:私のやり方はどこがだめなのでしょうか。
長文ですみません。
アドバイスをいただけませんか。よろしくお願い致します。