全反射の問題です。

質問

全反射の問題です。よろしくお願い致します。

問題
屈折率nAの円柱状のガラス棒Aがある。Aの上端面は中心軸に垂直で空気に接している。またAの側面は屈折率nBの媒質Bで囲まれている。Aの上端面の中心に、入射角αで入射した光の屈折角はβであった。空気の屈折率を1として、次の問いに答えよ。

３）光が媒質Bへ出ることなくAの中を進むためには、α、nA, nBの間にどのような条件が必要か。
答え：√（nA^2 - sinα^2）＞ nB

４）媒質Bが空気のとき、光はαの値にかかわらず全てAの中だけを進み、側面からは出てこなかった。媒質Bが水のとき、αの値によっては側面からも光がでてきた。ガラス棒Aの屈折率nAの取りうる範囲を示せ。ただし水の屈折率は4/3とする。

３）まではわかったのですが、４）がわかりません。

私は、
◎「媒質Bが空気のとき、Aの上端面の中心に、入射角αで入射した光はαの値にかかわらず全てAの中だけを進み、側面からは出てこなかった。」より、
媒質Bが空気→nB=1→（３）より、√（nA^2-sinα^2）＞１-----●

◎また、「媒質Bが水のとき、αの値によっては側面からも光がでてきた。」より、
媒質Bが水→nB=4/3
側面から光がでてくるとき：sinα/sinβ=nB/nA, nA=4sinβ/3sinα-----★
全反射がおきて光がでてこないとき: sinα/ sinβ=nB/nA, nA=4/3sinα-----☆
★と☆より、4sinβ/ 3sinα＜nA＜4/ 3sinα
これと、●の両方を考慮して…としたのですが、ここで、うまくいきませんでした。

解説をみると、
前半は外が空気なら出てこないので全反射している。つまり、（３）の状態。
どんなαでも（３）の式を満足しているので、
√（nA^2-１）＞１、∴nA > √２-----▲

後半は外が水なら「入射角αによっては全反射したりしなかったり」より、（３）がsinα=0では成立し、sinα＝１では成立しないということ。

よって、
√（nA^2-１）＜4/3<　√nA^2
∴4/3 < nA < 5/3-----△

▲と△より
√２＜ nA <5/3-----答え

なのですが、この解説がよくわかりません。

質問１：▲について、（３）式にnB=1が代入されているのはわかりますが、sinα^2＝１が代入されているのはどうしてですか？αは入射角ですが、これだと上端面に垂直に入れた場合に限定されると思います。でも、この問題では、αの値にかかわらず、全反射だと問題にあります。どうしてαは限定されているのでしょうか。
質問２：私のやり方はどこがだめなのでしょうか。

長文ですみません。
アドバイスをいただけませんか。よろしくお願い致します。

回答No.4

walkingdic · ベストアンサー

＞角度が０のほうは当然まっすぐ進むので考える必要がありません。
＞全反射条件を満たさなくなるのは入射角が大きくなった場合です。
この二つ目についてです。

全反射が起こるのは、遅いところから速いところに進んだときだと思います。そのとき、

>入射角が臨界角より小さいとき：全反射しない
>入射角が臨界角より大きいとき：全反射する
>のではないでしょうか？

そうですよ。

>つまり全反射条件を満たさないのは入射角が臨界角より小さくなったときだと思うのですが？

そうですよ。

何か勘違いしていませんか？
端面に０度で入射するということは、全反射する面（円筒面）に対しては９０度の入射角です。
端面に９０度で入射するということは、全反射する面に対しては０度の入射角です。

私の書いた
＞全反射条件を満たさなくなるのは入射角が大きくなった場合です。
はあくまで端面に対しての入射角αのことですよ。

お礼

度々の御回答ありがとうございます。お礼が遅くなり申し訳ありません。
角度を勘違いしていました。
α＝小、β＝小、(90°-β)=大、必ず全反射
α＝大、β＝大、(90°-β)=小、全反射するかどうかわからない、
という関係ですね。
角度を間違っていました。
すみません。

よくわかりました。
ありがとうございました。

回答No.3

walkingdic

>質問１：
>sinα^2＝１が代入されているのはどうしてですか？
α＝９０度という数字を入れているからです。

>αは入射角ですが、これだと上端面に垂直に入れた場合に限定されると思います。
あの、、、、垂直ではありません。上端面に水平になります。
垂直は０度です。（入射角の定義より）
入射面の法線に対する角度が入射角です。

>どうしてαは限定されているのでしょうか。
角度が０のほうは当然まっすぐ進むので考える必要がありません。
全反射条件を満たさなくなるのは入射角が大きくなった場合です。

>質問２：私のやり方はどこがだめなのでしょうか。
ご質問で、

＞側面から光がでてくるとき：sinα/sinβ=nB/nA, nA=4sinβ/3sinα-----★
＞全反射がおきて光がでてこないとき: sinα/ sinβ=nB/nA, nA=4/3sinα-----☆
＞★と☆より、4sinβ/ 3sinα＜nA＜4/ 3sinα

これがなにをやっているのか理解できません。
水の時には、α＜９０となる角度で全反射を満たさなくなる条件が存在するｎＡの範囲を考える問題です。

お礼

御回答ありがとうございます。
まず、入射角については間違っていました。すみません。
α＝90度のときは、上端面に水平でした。

ところで、一つ質問なのですが、
＞角度が０のほうは当然まっすぐ進むので考える必要がありません。
＞全反射条件を満たさなくなるのは入射角が大きくなった場合です。
この二つ目についてです。

全反射が起こるのは、遅いところから速いところに進んだときだと思います。そのとき、
入射角が臨界角より小さいとき：全反射しない
入射角が臨界角より大きいとき：全反射する
のではないでしょうか？
つまり全反射条件を満たさないのは入射角が臨界角より小さくなったときだと思うのですが？

自分の解法については、最大のときと最小のときを求めたつもりでしたが、この解法は考え方が間違っているなとわかりました。
あまり理解できてなくてすみません。よろしくお願いします。

回答No.2

noname#40706

時間の余裕がありませんので、気がついたことを一言だけ。

＜＜αは入射角ですが、これだと上端面に垂直に入れた場合に限定されると思います。＞＞　ちがいます！

入射角　の定義を　もう一度見直してください。

入射角α＝９０°　ならば　これは表面に平行に、つまり、夕日や朝日が地面すれすれに照らした状態です。
頭の真上から陽がが差し込むのは、入射角０°ですよ！！

この次は今夜しか時間がとれません。　悪しからず。

お礼

御回答ありがとうございます。
角度に関しては、勘違いしていました。すみません。
もう一度考え直したいと思います。

回答No.1

hitokotonusi

＞sinα^2＝１が代入されているのはどうしてですか？

どんなαでもという事ですから、(sinα)^2が最大でも最小でも条件を満足しないといけませんよね。
(sinα)^2は最大で1、最小で0ですから最大なら

√（nA^2-1）＞１ → (nA)^2 ＞ 2

最小なら

√（nA^2－0）＞１ → (nA)^2 ＞ 1

その他の場合はこの間になるので、(nA)^2 ＞ 2さえ満たしていれば
全ての場合で全反射がおきている事になります。

お礼

御回答ありがとうございます。
なるほど、私はαが０度のときと、90度のときでこんがらがっていましたが、両方で計算して、それを両方満たす範囲を求めればよかったのですね。
もう一度自分でやってみたいと思います。