雨滴の落下問題

質問

質量がm=(4/3)πr^3で表される球形の雨滴が落下している。
この雨滴は落下しながらまわりの霧の微粒子を吸着している。
吸着する量は雨滴の表面積に比例しており、単位時間に単位表
面積あたり質量αの割合で大きくなっている。初めの半径をr_0、
初速を0、重力加速度をgとする。
　以下の問いに答えよ。ただし、rは雨滴の半径である。任意の
時刻tにおける、
（1）半径rをr_0、α、tを用いて表せ。
（2）速度vをr_0、α、g、tを用いて表せ。
（問題文をそのまま写しました）

解答：（1）r=r_0+αt（2）v=g(r_0+αt)/4α-(g/4α)(r_0^4/(r_0+αt)^3)
（2）の解答を途中まで書きますと、
[1]鉛直下向きを正として運動方程式は
[2]m(dv/dt)=mg
[3]ここで、dr=αdtより、m(dv/dr)=mg/α
[4]積分して、m∫(dv/dr)dr=g/α∫(4/3)πr^3dr
[5]v(4/3)πr^3=(g/α)(1/3)πr^4+C　（C;積分定数）
・
・
・
（[1]は一行目という意味で書きました。）

自分がどこで引っかかっているかわからないので疑問に思う所をすべて書きますと。
・（2）はr_0、αに依存しないと思うのですがどうでしょうか？
・[2]でmは約分できないのでしょうか
・[4]で左辺のmはなぜ定数扱いされているのでしょうか？

不明な所がありましたらお知らせ下さい。補足で書かせて頂きます。
よろしくお願いします。

回答No.5

htms42 · ベストアンサー

＞これは参考書の記述が間違っていると考えていいのでしょうか？

ｍ(dv/dt)＝ｍｇ　
の部分が間違っている事になります。
d(ｍｖ)/ｄｔ＝ｍｇ
(ｄｍ／ｄｔ)ｖ＋ｍｄｖ／ｄｔ＝ｍｇ
でやると解答に示されているｖの式が出てきます。
（ｄｍ／ｄｔ＝α×４πｒ^2、ｄｒ／ｄｔ＝α、ｍ＝(4/3)πｒ^3を用いてｄｖ／ｄｔ＝・・・　という式に書き換えます。［３］［４］に出てくるものとは異なります。［２］～［５］の式は無視して解いてみてください。）

お礼

回答ありがとうございます。
細かく教えて頂きありがとうございました。

回答No.4

htms42

＃３を受けて書きます。
［２］ｍ(dv/dt)＝ｍｇ　は　d(mv)/ｄｔ＝ｍｇ
とすべきでしょうね。ｍが一定でなく時間と共に変化するからです。運動方程式は「運動量の時間変化は外力に等しい」となります。この式だとｍを約することが出来ないというのも分かると思います。
この式で全部やり直してみてください。
（この式は「ある時刻にｄｍの水滴と衝突して合体する、速度はｖからｖ’に変わる。このｖ’がｇで加速されてｄｔ後にｖ''になる、ｄｔの間に起こる速度変化はｄｖ＝ｖ''－ｖである」とすると出すことが出来ます。）

補足

回答ありがとうございます。ようやくわかりました。
これは参考書の記述が間違っていると考えていいのでしょうか？

回答No.3

eatern27

雨滴が周りの水蒸気を吸収して成長しながら、落下することを考えていますよね。

周りの水蒸気は、吸収される直前は静止していると考えれば、雨滴は吸収した分の水蒸気を雨滴自身の速度vまで加速してやる必要があります。この分だけ、(水蒸気を吸収しない時に比べて)雨滴の速度は小さくなるはずです。v=gtなら、水蒸気を吸収しようがしまいが変わらないと言っているんですから、明らかにこのような効果は取り込まれていませんね。

とにかく、[2]が違うんです。
運動量の変化と力積について考えて見てください。

お礼

回答ありがとうございます。
今回のような場合はv=gtと単純な式にならず、解答のような複雑な式になるんですね。
丁寧に教えて頂きありがとうございました。

回答No.2

eatern27

貴方が疑問に思っている部分は貴方の考えの通りで基本的には正しいです。

じゃぁ、答えはv=gtなのかと思うかもしれませんが、それは違います。そもそも[2]が正しいのかどうかを疑ってみましょう。

補足

回答ありがとうございます。
私はv=gtだと考えていました。
よろしければもう少し詳しく教えて頂けないでしょうか。

回答No.1

okormazd

空気抵抗は考えないのか。
問題には何も書いてないみたいだが。

補足

空気抵抗に関しての記述はありませんでした。
>（問題文をそのまま写しました）
という所までで全てです。
よろしくお願いします。