logの分散？

質問

確率密度関数f(x)がf(x)＝0(x<1)、f(x)＝c/x^2(1<=x）の時の話なんですが
確率密度関数の性質からｃ＝１とでたので
f(x)＝1/x^2(1<=x)が言えると思います。
ここで期待値を求めたいのですが
∫x・(1/x^2)dxと置いて計算すればいいと思うのですが、(∫の範囲は1～∞です)
これを積分すると[logx](範囲は１～∞)なので答えはlog∞になってしまうのですが、おかしい気がしてなりません。

何か考え方、または解き方が間違えてると思うのですが
正しい解き方をご教授していただきたいです。
宜しくお願いします。

回答No.1

noname#50894 · ベストアンサー

>何か考え方、または解き方が間違えてると思うのですが
間違っていません。正しいと思います。

#確率密度関数がf(x)＝0(x<1)、f(x)＝1/x^2(1<=x）
#で与えられる確率分布の平均値、分散値は存在しない。

と解釈して良いと思います。

このような分布の例としては、
確率密度関数がg(x)＝1/{π(x^2+1)}［-∞<x<∞］
で与えられる、有名なCauchy分布があります。

この場合も
∫[-∞,∞]g(x)dx=(1/π)∫[-∞,∞]{1/(x^2+1)}dx=1
ですが、

∫[-∞,∞]xg(x)dx=(1/π)∫[-∞,∞]{x/(x^2+1)}dx→存在しない
∫[-∞,∞]x^2g(x)dx=(1/π)∫[-∞,∞]{x^2/(x^2+1)}dx→存在しない

よって、平均値・分散値が存在しない。

最近、
このような平均値・分散値が存在しない確率分布の一つである“ベキ分布”に
ある種の経済法則が従っている、と、研究を進めている人もおられるそうです。
“経済物理学”という耳慣れない分野が新書版で紹介されるていますので、
立ち読みして下さい。

お礼

なるほど。。。
丁寧が解説有難うございます。
経済物理学とは初耳です。
近々書店に行くので見てみたいと思います。
有難うございました。