三角関数の積と和の公式の問題で

質問

次の値を求めよ。
sin20°sin40°sin80°

という問題があります。sinαsinβの公式を使ってsin20°sin40°をまず出すのは分かるのですが、そこから先がうまくできません、誰か詳しく分かりやすく教えてください。

回答No.3

zabuzaburo · ベストアンサー

補足を拝見しました。

先に計算しておいたsin40sin20に、
後半でsin80を掛けるところを見てください。

----------(#2の回答から再掲)
以上より
sin80sin40sin20
= sin80・(1/4)(2cos20 - 1)
= (1/4)[2sin80cos20 - sin80] ★ココ！
----------

ここのところで[]内にある「2sin80cos20」を
再び積和の公式で処理しなくてはならないのですが、
そのまま書くと式の中に埋もれてしまって
読みにくいかな、と感じたので
先に済ませておいたわけです。

ただ単にimadas2さんが読みやすいようにと思って書いただけで、
答案としてこのように書かないといけないわけではありません(^^)
他の箇所は大丈夫ですか？

お礼

やっと分かりました。わざわざ有難うございます。三角関数の後半は難しいのが多くて大変です・・・。

回答No.2

zabuzaburo

ごめん、訂正させてください。
一つ目の※のところでcos60とcos20の順番を間違えました。
答は合っています。
----------
sin80sin40sin20

後ろの2つの積は
sin40sin20 = (1/2)(cos20 - cos60)※
= (1/2)[cos20 - (1/2)]
= (1/4)(2cos20 - 1)
これにsin80を掛けると
「2sin80cos20」という項が出て来るので
先に計算すると
2sin80cos20 = sin100 + sin60※
= sin100 + [(√3)/2]

以上より
sin80sin40sin20
= sin80・(1/4)(2cos20 - 1)
= (1/4)[2sin80cos20 - sin80]
= (1/4){sin100 + [(√3)/2] - sin80}
ここでsin100 = sin(180 - 80) = sin80より、
(与式) = (1/4){sin80 + [(√3)/2] - sin80}
= (1/4)・(√3)/2 = (√3)/8
となります。
----------

補足

= (1/4)(2cos20 - 1)
これにsin80を掛けると
「2sin80cos20」という項が出て来るので

という部分がどうしうたらそうなるのか分かりません。教えてください、

回答No.1

zabuzaburo

以下において、
-------------
°(度)は省略します。
※はいわゆる「積和の公式」を使っている箇所です。
掛け算の順序をひっくり返します。
-------------
sin80sin40sin20

後ろの2つの積は
sin40sin20 = (1/2)(cos60 - cos20)※
= (1/2)[(1/2) - cos20]

これにsin80を掛けると
「2sin80cos20」という項が出て来るので
先に計算すると
2sin80cos20 = sin100 + sin60※
= sin100 + (√3)/2

以上より
sin80sin40sin20
= sin80・(1/2)[(1/2) - cos20]
= (1/4)[sin80 - 2sin80cos20]
= (1/4)[sin80 - sin100 - (√3)/2]
ここでsin100 = sin(180 - 80) = sin80より、
(与式) = (1/4)[sin80 - sin80 - (√3)/2]
= (1/4)・(√3)/2 = (√3)/8
となります。