トイレットペーパーの長さと電卓

質問

次のような問題に出会いました。
芯の半径は2cm、芯の中心から
外側までの厚さは8cm、紙の厚さは0.1mmトイレットペーパーの長さはいくらか
という問題です。
紙の枚数は
(8-2)/0.01=600枚
なので

（１）
2π(2+.01x)
xは1から600までの等差数列。
これを電卓で叩くと
18868.40548になりました。

（２）
次に、これは
2π(2+.01x)を
1から600まで積分したものだろうと思い電卓を再び叩くと
18836.95813
と出ました。

根本的に私の考えが間違っているのでしょうか

回答No.3

sanori · ベストアンサー

再びお邪魔します。

まず、訂正させてください。
π（８^2 － ２^2） ÷　０．０１　＝　1884.95559　ｃｍ
は書き間違いで、
π（８^2 － ２^2） ÷　０．０１　＝　18849.5559　ｃｍ
が正しかったです。

さて、
（１）について、ｘ＝１～６００　と　ｘ＝０．５～５９９．５　を比較しますね。

S1 = Σ[x=1→600]0.01x = 0.01 + 0.02 + 0.03 + ・・・ + 5.98 + 5.99 + 6.00
S2 = Σ[x=0.5→599.5 step=1]0.01x = 0.005 + 0.015 + 0.025 + ・・・ + 5.975 + 5.985 + 5.995
と置くと、

S1 - S2 = 0.005 + 0.005 + 0.005 + ・・・ + 0.005 + 0.005 + 0.005
　= 0.005×600
　= 3

よって、
Σ[x=1→600]2π(2+.01x) － Σ[x=0.5→599.5 step=1]2π(2+.01x)
　= 2π×3
　= 18.8495559　ｃｍ

これを質問者様の計算結果から差し引けば
18868.40548 － 18.8495559　＝　18849.5559 ｃｍ
というわけで、見事に一致しましたよね。

積分のほうもやってみましょうか。
ピタリと一致するはずです。

∫2π(2+0.01x)dx = 4π∫dx + 2π∫0.01x dx
　= 4πx + 0.01π・x^2 + Const
∫[0→600]2π(2+0.01x)dx = 4π[600-0] + 0.01π[600^2 - 0^2]
　＝　2400π + 3600π
　＝　6000π　＝　18849.5559

ね？

なお、上述のΣの式で「 step=1 」というのは、公差が１ということを表すために私が創作した書き方なので、真似しないでください。（笑）

お礼

まず、ドーナツの面積を厚さで割ればよいという発想は出てきませんでした。
問題を見たときは各々の円周を力任せに合計するか、積分でなんとかなりそう
だという程度でした。０～６００の間違いはすぐに理解しましたが、（１）で
まっすぐに引き伸ばしたときの形が台形という発想もすごいと思います。
最初は電卓の誤差かと思っていましたが、ぴたりと一致しましたので
今日は安心して眠れます。ありがとうございました。
なお、[step=1]は見たときにすぐにわかりました(^^;

回答No.2

muttysatty

（１）はこれでいいと思います
（２）は積分区間を　０～６００とすべきです。
違いは
（１）はｘを整数値としての発想から出た計算ですが
（２）の積分はｘを連続した実数値としての発想から出た計算を
行うから、芯から外周まで連続して計算すべきだからです。

お礼

整数値と実数地の違い。頭の中では理解していたつもりだった
のですが、言われてみて０～６００にしなければならないことに
気がつきました。早速の回答ありがとうございました。

回答No.1

sanori

こんばんは。

結論から申しますと、
単純に計算するには、ドーナツの面積を厚さで割ればよいです。
（数値で積分することと同じことなのですが）

単位はｃｍで統一しますね。

π（８^2 － ２^2） ÷　０．０１　＝　1884.95559　ｃｍ

ご質問文にある（１）の等差数列は、１から６００まででなく、０．５から５９９．５までにしたほうが良い近似になります。
なぜかというと、１つ１つの輪っかは、どこかで切ってまっすぐに引き伸ばしたときの形が台形なので、上底や下底ではなく、上底と下底の平均を用いるのがよいからです。

（２）の積分は、ｘ＝１からｘ＝６００ではなく、ｘ＝０からｘ＝６００　にすべきです。
なぜかというと、ｘ＝１からだと、ｘが０から１までのところ、すあんわち芯の外側０．１ｍｍにある紙を計算に入れていないことになってしまうからです。

お礼

超スピードの回答驚きました。
お礼の言葉はNo.3でさせていただきます。