微分

質問

y=tan^-1{（1/√3）tan(x/2)}

この問題がわかりません。
{tan^-1(x)}'=1/1+x^2よりx={（1/√3）tan(x/2)}を代入するとかではないですよね？
どなたかアドバイスお願いします。

回答No.4

info22 · ベストアンサー

#1です。
補足質問の回答です。
＞tan(x/2)の微分はこれも合成関数の微分公式を使って、
＞f(t)=tan(t)、g(x)=x/2とおいて
＞f'(t)=1/cos^2(x)、
間違いです。
f'(t)=1/cos^2(t)=1/cos^2(x/2)
です。
＞g'(x)=1/2より{tan(x/2)}'=1/2cos^2(x)
上の訂正で
{tan(x/2)}'=1/{2cos^2(x/2)}
です。
＞でいいのでしょうか？

回答No.3

kkkk2222

y=arctan[(1/√3)tan(x/2)]
　　　　　　u=(1/√3)tan(x/2)
　y=arctan[u]
(dy/du)
=1/(1+u^2)
=1/(1+[(1/√3)tan(x/2)]^2)
=3/[3+{(tan(x/2))^2)}]
=3/[3+{(1-cosx)/(1+cosx)}]
=3(1+cosx)/[(3+3cosx)+(1-cosx)]
=[3(1+cosx)/(4+2cosx)]
---
　u=（1/√3）tan(x/2)
　　　　　　　v=tan(x/2)
　u=（1/√3）[v]
(du/dv)=[1/√3]
---
　v=tan(x/2)
　　　w=(x/2)
　　　　2w=x
　v=tan[w]
(dv/dw)
=1/{(cosw)^2)}
=1+{(tanw)^2)}
=1+{(1-cos2w)/(1+cos2w)}
=1+{(1-cosx)/(1+cosx)}
={(1+cosx)+(1-cosx)}/(1+cosx)
=[2/(1+cosx)]
---
w=(x/2)
(dw/dx)=[1/2]
---

(dy/dx)
=(dy/du)(du/dv)(dv/dw)(dw/dx)
=[3(1+cosx)/(4+2cosx)][1/√3][2/(1+cosx)][1/2]
=√3/(4+2cosx)　　。

回答No.2

mamoru1220

y=tan^-1{（1/√3）tan(x/2)}
（1/√3）tan(x/2)　をAと置く。
y=tan^-1（A）の微分は？
その答えに代入すれば簡単かと思います。

回答No.1

info22

合成関数の微分公式を使えばできます。

y=f(g(x))=f(t),t=g(x)の微分は
合成関数の微分公式 y'=f'(t)g'(x)
を適用すれば良いでしょう。

y=f(t)=tan^-1(t),t=g(x)=(1/√3)tan(x/2)
f'(t)={tan^-1(t)}'=1/(1+t^2) ←t=g(x)を代入
g'(x)={(1/√3)tan(x/2)}'= ? ←　微分して下さい。

f'(t)=f'(g(x))とg'(x)を微分公式に代入すればいいですね。

あとは自分でできると思います。

補足

tan(x/2)の微分はこれも合成関数の微分公式を使って、
f(t)=tan(t)、g(x)=x/2とおいて
f'(t)=1/cos^2(x)、g'(x)=1/2より{tan(x/2)}'=1/2cos^2(x)
でいいのでしょうか？