指数計算

質問

ある大学の入試問題です。

実数x,yが等式
4・2^2x+7・2^x・3^y+3・3^2y-3・2・2^x-2・3・3^y=0
を満たしているものとする。
(1)ア/イ・2^x+ウ/エ・3^y=1である。

アイウエに当てはまる答え、その解説をお願いします。

先日、この大学からの不合格通知が届きまして、後期も受けるつもりなので、参考にしたいんです。
よろしくお願いします。

回答No.2

kumipapa · ベストアンサー

X = 2^x, Y = 2^y とおいてみよう。
X＞0, Y＞0　も忘れずにおこう。
4・2^2x+7・2^x・3^y+3・3^2y-3・2・2^x-2・3・3^y=0
4X^2 + 7XY + 3Y^2 - 6X - 6Y = 0
4X^2 + (7Y - 6)X + 3Y(Y-2) = 0
(X+Y)(4X + 3Y -6) = 0
X+Y＞0 より
4X + 3Y - 6 = 0
(2/3)X + (1/2)Y = 1
(2/3)(2^x) + (1/2)(2^y) = 1

お礼

因数分解の方法が思いつかず、苦しんでおりました。
こうやればいいんですね。

回答ありがとうございました！！

回答No.1

eringui

まず、X=2^x, Y=3^y　とおきましょう。
これにより与式は、

4X^2+7XY+3Y^2-6X-6Y=0

となりますね。
これをXの2次方程式だと思って整理してみると、

4X^2+(7Y-6)X+3Y(Y-2)=0

さらに因数分解できるので、

(4X+3Y){X+(Y-2)}=0

これを解くと、X=-3/4*Y, 2-Y　という解が出てきます。
しかし、ここで少し考えてみると、XとYはそれぞれ2^x,3^yですから、x,yが実数なので0以下になることはありません。
ゆえにX=-3/4*YをみたすX,Yは存在しないことがわかります。

∴X=2-Y

あとは代入してx,yの式に戻し、変形すればア・イ・ウ・エは求まりますね。

補足

(4X+3Y){X+(Y-2)}=0
を展開したら、
4X^2+(7Y-8)X+3Y(Y-2)=0
になってしまいます…。