流体力学

質問

はじめまして。
流れ関数について質問です。

流れ関数　ψ(x,y)が一定となる曲線は流線となるそうですが
一定となるとはどうゆうことでしょうか？？
ψ(x,y)というのは、x,yからなる関数であってx,yを代入すると
ψが決まるのでしょうか？

流れ関数というもの自体理解できてないので、、、。

初歩的な質問ですがよろしくお願いしますm(__)m

回答No.3

inara1

横から失礼します。
ψ(x,y) = 一定 が表わす曲線は、地図の等高線と考えてください。ある地点の経度を x、緯度を y としたとき、その地点の標高が ψ(x,y) という関数で表わされる場合、ψ(x,y) = h を満足する曲線は、標高 h の等高線になります（等高線の場合は普通閉曲線になりますが、１つの曲線とは限りません）。

h の数値を少しずつ変えていくと、地図の等高線のようにいろいろな曲線が描けます（円筒の周りの２次元層流の流線も等高線のように同心円状になっていると思います）。等高線は地図（xy平面）上に描かれるので２次元です。ψ(x,y) = h というのは、z = ψ(x,y) という３次元の曲面を、xy平面に平行な z = h という平面で切ったときの交線（２次元曲線）を表わすものです。３次元物体周囲の流体の流線は ψ(x,y,z) ですので、曲面を平面で切ったようなイメージは適用できませんが・・

回答No.2

h191224

> ということは、３次元ということでしょうか？？

ｚ方向への状態変化がない３次元です。
要するに、２次元です。

> ψ(x,y)＝一定というのは、どんな、x,yをいれてもψの値は一定ということでしょうか。？

ψ(x,y)＝一定というのは、一定値を与えて、(x,y)を求めるのです。
方程式の基本です。
(x,y)の組が１個だけ求まるというものではなく、x-y平面内の曲線の方程式のイメージで求まります。（実務上、実際に曲線の方程式の形が求まることはほとんどなく、ψ(x,y)＝一定を満足する(x,y)の値を必要数だけ求め、それらを近似曲線でつなぎます。

> 教科書を見ると、図は直交座標（２次元）でかかれているのですが・・・。

教科書に書いてある通りです。よく読みましょう。必ず書いてあります。２次元で定義される関数なので、２次元は当たり前です。

なお、「直交座標系」ではなく、「直角座標系（＝デカルト座標系）」のことを指しているのですね？
「直交座標系」とは、「直角座標系」「円筒座標系（極座標系）」「球座標系」など、座標軸（座標曲線）が互いに直交する座標系すべてを指します。（これに対する概念は「斜交座標系」です。）

回答No.1

h191224

流れ関数ψ(x,y)は、x,yからなる関数であって、x,yを代入するとψの値が決まるというものです。

流れ関数ψ(x,y)は、非圧縮性粘性流体（要するに、水みたいな液体）の線形の状態について導かれたものです。
流体の粒子１個の経路を追跡すると、
ψ(x,y)＝一定
の曲線上を走って行くことになります。これが流線です。

流線は、文字通り、「ψ(x,y)が一定となる曲線」です。

流れ関数ψ(x,y)は、次の２種類の方程式
(1)　ナビエ・ストークスの方程式の線形項
(2)　連続の方程式
において、
　ｕ(ｘ方向流速)＝　∂ψ(x,y)/∂ｙ
　ｖ(ｙ方向流速)＝－∂ψ(x,y)/∂ｘ
と置くことによって得られます。
詳細はどんな教科書にも出ていますので、それを参照しましょう。

お礼

迅速な回答ありがとうございます。

＞流れ関数ψ(x,y)は、x,yからなる関数であって、x,yを代入するとψの値が決まるというものです
ということは、３次元ということでしょうか？？
ψ(x,y)＝一定というのは、どんな、x,yをいれてもψの値は一定ということでしょうか。？

教科書を見ると、図は直交座標（２次元）でかかれているのですが・・・。

質問ぜめですみません・