- ベストアンサー
流体力学の流れ関数に関して
突然ですが、流体力学において証明の問題がどうしても解けません。 渦無し流れにおいて（x0,y0)→(x,y)の任意の経路において、一周積分無しの場合、 ∫。(udx+vdy)=∬(∂v/∂x-∂u/∂y)dxdy を積分すると、 x,y x,y ∫(udx+vdy) = ∫dφ = φ(x,y) ・・・(1) x0,y0 x0,y0 となります。同様に、 ∫。(-vdx+udy)=∬(∂u/∂x+∂v/∂y)dxdy を積分すると、 x,y x,y ∫(-vdx+udy) = ∫dψ = ψ(x,y) ・・・(2) x0,y0 x0,y0 となります。 尚、∫。は一周積分を意味します。 ここで問題となるのが この(1)のφ(x,y)と、(2)のψ(x,y)は積分経路に関らず一定値となる事を証明する事が僕は出来ませんでした。 本当に突然なのですが、何卒宜しくお願い致します。
- GiSuXeke
- お礼率66% (4/6)
- 物理学
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
渦無し流れにおいては一周積分は０です。 よって Ａ→Ｂ→C→D→Ａという閉じた経路を考えると xB,yB xC,yC xD,yD xA,yA ∫dφ + ∫dφ + ∫dφ + ∫dφ =0 xA,yA xB,yB xC,yC xD,yD 積分の始点と終点を入れ替えると符号が逆転することに注意して変形すると xB,yB xC,yC xD,yD xC,yC ∫dφ + ∫dφ ＝ ∫dφ + ∫dφ xA,yA xB,yB xA,yA xD,yD B,Dに何ら条件を与えていないので、これはＡ→Ｃの経路によらず径路積分Ａ→Ｃが変わらないことを意味します。つまり経路独立なわけです。
関連するQ&A
- 流体力学 複素ポテンシャル
次の問題が（１）から（5）まで正しいかどうかご指摘ください。お願いします。 問題 複素ポテンシャルW(z)=Az^2(Aは正の実数、zは複素数でz=x+iy）について以下の問いに答えよ。 （１）流れ関数Ψを求めよ。 （2）xy平面上に流線を描き、各流線上に流れの向きを表す矢印をつけなさい。 （3）xy平面上の原点と(x,y)=(b,b)を結ぶ線分を横切る流体の体積流量を求めよ。 （4）xy平面上で、0<=x<=b,0<=y<=bの正方形経路上の循環を求めよ。 （5）この正方形領域内で流体に作用するy方向の力の大きさと向きを求めよ。ただし流体の密度をρとし、奥ゆきは単位長さとする。 --------------------------------------------------------------------------------- (自分の解答） （1）W=φ＋iΨyより φ＝A(x^2-y^2) Ψ＝2xyA (2)Ψ＝2xyAより漸近線をx,y軸とする直角双曲線となる。 流れの向きとはどのようにしたらわかるのでしょうか？ (3)流量は流線の差から求められるので Ψ(b，b)-Ψ（0，0）＝2Ab^2 (4) u=∂φ/∂x=2Ax, v=∂φ/∂=-2Ayより速度ベクトルV=(2Ax、ー2Aｙ、0） よって渦度は 渦度=(0，0，0) よって渦度が0なので循環も0 (5) 連続の式より du/x+dv/y=2A-2A=0 よってこの流れは非圧縮性流体とわかる。 y軸方向の力をF_yとおくとオイラーの方程式より (∂v/∂t+u∂v/∂x+v∂v/∂y)=F_y F_y=4A^2y よってF_yb-F_y0＝4A^2b-4A^2y*0＝4A^2b となりy軸の負の方向に生じる。
- ベストアンサー
- 物理学
- 速度ポテンシャル 流体力学
流体力学の問題で速度ポテンシャルφ＝x^2＋y^2の問題で、流線、等ポテンシャル線を図に示せという問題です。 u=2x v＝2y となるんですが、これだと連続の式を満たさないのですが、このような問題はあり得るのでしょうか？ 問題自体が間違っているのでしょうか？
- ベストアンサー
- 物理学
- 流体力学について。写真の黄色線に示している、≠0や
流体力学について。写真の黄色線に示している、≠0や＝0となっている理由がわかりません。 また、「速度変動成分u'、v'の時間成分…は、…のとおり零となる。」とありますが計算してもそれぞれ＝u'、＝v'となり零にならないのですが。 ご教示お願いします。
- 締切済み
- 物理学
- 多変数の積分について
こんにちは。 現在多変数の微積を勉強しているのですが、わからないことがあるので教えてください。 まず、一つ目は広義積分の収束についてです。 ∫D dxdy/(1＋x^2＋y^2）Dは全平面 という広義積分なのですが、私は極座標変換をした結果この積分は発散すると思うのですがどうでしょうか？ もう一つは計算問題です。 ∫D (x＋y)^4dxdy D:|x|＋|y|≦１ なのですが、上手い変数変換がわからないのです。 とりあえず私はu=x＋y,v=x-yと変換したところ答えが2/5とでたのですが、全く自信がありません。 恐れ入りますがご指摘をお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 流体力学の演習問題について質問です
以下のような演習問題に取り組んでいますが流体の知識が足りないため解くことができないでいます。 どなたかもしよかったら教えてくださるとありがたいです。 演習問題 完全流体の二次元渦なし流れを考える。複素数ポテンシャルW(z)=φ(x,y)＋iψ(x,y) と記述され、z=x+iy, i=√（-1）である。 また、x,y方向の速度成分u,vは速度ポテンシャルφと流れポテンシャルψと u(x,y)=∂φ/∂x=∂ψ/∂y、v(x,y)=∂φ/∂y=∂ψ/∂xとあらわされる。このとき （１）連続の式および渦なしの条件(∂u/∂y-∂v/∂x=0)を用いて次の式が成り立つことを示せ。 ∂^2φ/∂x^2+∂^2φ/∂y^2=0, ∂^2ψ/∂x^2+∂^2ψ/∂y^2=0 （２）u,v とW(z)の関係が dW/dz=u-ivで与えられることを示せ・ （３）W(z)=U(z)(Uは一定）の場合の速度成分u,vを求め、どのような 流れ場か説明せよ。
- 締切済み
- 物理学
- 自然対数の重積分について質問があります
「I = ∬(D)ln(x+y)dxdy 積分範囲D={(x,y)|0≦x≦1, 1≦y≦2} の値を求めよ。」 という問題がわかりません x+y=u, x-y=vと変数変換をする 新たな積分範囲D'をD'={(u,v)|1≦u≦3, -2≦v≦0}とする ヤコビアンの絶対値を求めれば1/2 よって I = 1/2・∬(D')ln(u)dudv = 3ln(3)-2 これは合っていますでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素関数の１例について質問
複素関数の１例について質問 ｆ（ｚ）＝ｚ＾２－３ｚ＋２ のとき、その導関数は ｆ’（ｚ）＝２ｚ－３ で良いですよね。 逆に、曲線Ｃに関する積分は、（ｃの表示は省略） ∫ｆ’（ｚ）ｄｚ＝∫（２ｚ－３）ｄｚ＝ｚ＾２－３ｚ＋Ｃ となるので良いと思います。 ここで、ｚ＝ｘ＋ｉｙ と置いて同様のことをすると、 ｆ（ｚ）＝（ｘ＋ｉｙ）＾２－３（ｘ＋ｉｙ）＋２ ＝（ｘ＾２－ｙ＾２－３ｘ＋２）＋ｉ（２ｘｙ－３ｙ） ｆ’（ｚ）＝∂ｕ／∂ｘ＋ｉ∂ｖ／∂ｘ ＝２ｘ－３＋ｉ（２ｙ） （＝２（ｘ＋ｉｙ）－３＝２ｚ－３） で良いですよね。 逆に、曲線Ｃに関する積分は、（ｃの表示は省略） 一般に ∫ｆ（ｚ）ｄｚ＝∫（ｕｄｘ－ｖｄｙ）＋ｉ∫（ｖｄｘ＋ｕｄｙ） なので、 ∫｛２ｘ－３＋ｉ（２ｙ）｝ｄｚ ＝∫（２ｘ－３）ｄｘ－∫２ｙｄｙ＋ｉ∫２ｙｄｘ＋ｉ∫（２ｘ－３）ｄｙ ＝ｘ＾２－３ｘ－ｙ＾２＋Ｃ＋ｉ（２ｘｙ）＋ｉ（２ｘｙ－３ｙ） ＝（ｘ＾２－ｙ＾２－３ｘ＋Ｃ）＋ｉ（４ｘｙ－３ｙ） となりましたが、 虚数部が（２ｘｙ－３ｙ）になっていません。 何故でしょうか？ ご教示、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 次の関数論の問題の解答解説をお願いします。
全領域で正則な関数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)について(z=x+iyでx,y,u(x,y),v(x,y)は実数である), 1.z平面上の任意の閉曲線Cに沿ってのf(z)の1周積分は常に0になることを証明せよ。 2.z平面上の任意の点Aから点Bまでのf(z)の複素積分が積分経路に依存しないことを証明せよ。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 流体力学の公式証明が解らない
流体力学の中で証明の課題が出たのですが、全然解りません。初心者向けに教えてください。 ポテンシャル流 非圧縮流体、粘性無し、渦無し、一様流 球対称な流れの場合 ｒのみの関数の場合（ｒ＝ｘ．ｙ．ｚ） Φ＝Φ（ｒ.θ．ρ）＝Φ（ｒ）のとき ΔΦ＝ １／r2 ・ d/dr(r2・dΦ／dr) ２の数字は２乗です。 となることを証明せよというものです。 ベクトル解析を良く理解していないので、困っています。
- ベストアンサー
- 物理学
- 流体力学におけるせん断変形率について
流体力学において粘性についての話が出てきますが、３次元の応力テンソルを考えた時に、せん断応力を以下のように書くことがあるかと思います。 τxy＝μ(∂u/∂y) これについてはなんとなくわかるのですが、せん断変形率を用いてせん断応力を以下のように表す時についてがよくわかりません。 τxy＝μ((∂v/∂x)+(∂u/∂y)) せん断変形率は「３次元で考えている時にそのせん断方向を作り出すすべての変化率」と本で読んだのですが、いまいちよくわかりません。 τxyを表すのにτyxが必要なのはなぜでしょうか？ 対角テンソルの関係があるためでしょうか？ また、図形的に考えた時にどのような歪み方をするのでしょうか？ 回答をよろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 物理学
お礼
回答有難う御座います。 成程、この積分の場合は経路に関らず一定と言う事で 僕の場合の回答になると x,y x0,y0 ∫。dφ=∫dφ + ∫dφ = 0 x0,y0|A x,y|B なので x,y x0,y0 x,y ∫dφ = -∫dφ = ∫dφ x0,y0|A x,y|B x0,y0|B となるのですね！ やっと解けました！ お力添えを頂き有難う御座いました。