cos2°

質問

cos2°が無理数であることの証明が上手く出来ません。
cos1°は分かるんですが・・・・。
どなたかあざやかな解法教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.2

kumipapa · ベストアンサー

cos1°が分かったのなら、cos2°も分かりそうな気がしますが。
cos1°はどのように考えましたか？

＃１さんのようにエレガントではありませんが、例えば・・・
まず、cos(3θ), cos(5θ) が cosθ の多項式で表せることを示します（ちょっと面倒なだけでしょう）。
その上で、cos2°が有理数と仮定すると、cos(3×2)°= cos6°も有理数。
さらに、cos(5×6)°= cos30°も有理数となり矛盾します。
よってcos2°は無理数です。

お礼

本当にありがとうございます。助かりました！

補足

自分はcosnθがcosθの整数多項式で表せれることを和積の公式と数学的帰納法で証明し、cos30°がcos1°の整数多項式で表せるがcos1°が有理数だと仮定するとcos30°も有理数となるから矛盾というように背理法を使いました。

＞cos1°が分かったのなら、cos2°も分かりそうな気がしますが。
おっしゃる通りです・・・。確かに上記のやり方で出来ますね！
しかもすごく簡単に・・・。
cos1°の時とはまったく違う視点からアプローチしてしまっていたようです。

回答No.1

katadanaoki

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2212683.html

お礼

既出の質問だったようですね・・・。大変申し訳ありません。

参考にさせていただきます。わざわざありがとうございます。