体積の求め方なのですが

質問

半径Rの球と半径aの球があり、それぞれ球1、球2とします。（R>>a）
球2の中心は球1の表面上にあります。（ひょうたんのような形です）
このときに球2の球1からはみ出している部分の体積はどうやって求めればいいのでしょうか？

回答No.4

mazoo · ベストアンサー

まずxyz座標空間で半径Rの球の中心を原点に、半径aの球の中心を(R,0,0)に置いた図を想像してみてください。
次にノートにx-y平面を書いて、原点を中心とする半径Rの円と、(R,0)を中心とする半径aの円を書いてみてください。
二つの円が交わる座標は簡単に計算で出せますね。この図をx軸について回転させると、ひょうたんみたいな形ができますね。
求めたいのは小さな球が大きな球からはみ出た部分の体積ですが、x-y平面で図のどの部分を回転させたら、求めたい部分になるか考えてみてください。あとはx-y平面の円の部分を関数(y=...)で表して積分するだけです。

一応
y=f(x) (a≦x≦b,f(x)≧0)　,x=a,x=b
で囲まれた部分をx軸で回転させた時にできる立体の体積は
π∫(aからbまで)f(x)^2dx
です。

お礼

なるほど、二次元から持っていくのですか。
ずっと三次元極座標で積分しようとしていました。

回答No.5

nettiw

検算は、して下さい。

　ｘ軸の周りに１回転してできる、回転体の公式、
π∫[α,β](y^2)dx を使い、
　大円1の回転体を大球1、
　小円2の回転体を小球2 として、
条件に合うように、
　小円2を左側に、半径a　中心(0,0)
　大円1を右側に、半径R　中心(R,0)と設定して、

小円2の方程式は、x^2+y^2=a^2　＜Ａ＞
大円1の方程式は、(x-R)^2+y^2=R^2＜Ｂ＞

　ふたつの円の交点のｘ座標は、
　　　x^2+y^2=a^2　＜Ａ＞
　　　x^2+y^2=2Rx　＜Ｂ’＞
辺々を引いて、
　　　2Rx=(a^2) 　→　x=(a^2)/2R

＜Ａ＞＜Ｂ’＞を　y^2= の形に変形して、
　　　　y^2=[a^2-x^2]＜Ａ’’＞
　　　　y^2=[2Rx-x^2]＜Ｂ’’＞
--------------------

小球2の左半分の体積V1は、
(V1/π)=∫[-a,0][a^2-x^2]dx=[(2/3)(a^3)]

残りのはみ出している部分の体積V2は、
積分範囲、[0,(a^2)/2R]で、
小円2の回転体から、大円1の回転体を引いて、
(V2/π)
　=∫[0,(a^2)/2R][(a^2-x^2)-(2Rx-x^2)]dx
　=∫[0,(a^2)/2R][a^2-2Rx]dx
　=[(a^2)x-R(x^2)][0,(a^2)/2R]
　=[(a^4)/2R]-[(a^4)/4R]
　=[(a^4)/4R]

　　求める体積Vは、
(V/π)
　=(V1/π)+(V2/π)
　=[ (2/3)(a^3) ]+[ (a^4)/4R ]
　=[ (a^3) { (2/3)+(a/4R) } ]

　　V=π[ (a^3) { (2/3)+(a/4R) } ]　　。

お礼

とても丁寧に解説してくださりありがとうございました。

回答No.3

mazoo

積分を使えば求めることができましたが、、、
積分の知識はお持ちでしょうか？

中学生でもわかるような、もっと簡単な求め方もあるかもしれませんが。

お礼

一応積分は使えるのですが、何をどう積分していいかわかりません。
何か特殊な技法みたいなのが必要なのですか？

回答No.2

daisuke_dm

＃１です。
すみません・・・XYZ座標のつもりが、
書き間違いしてしまいました。
ごめんなさい。

回答No.1

daisuke_dm

xyz軸を使っちゃえばできますけど・・・それじゃ、スマートじゃないですよね・・・・

お礼

数学があまり得意ではないのですみませんが、xyz軸とはデカルト座標のことですか？
とくにスマートな解き方とかは気にしないのでその方法をご教授願えませんか？