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確率の問題です
暇なときに、ふと考えてしまった問題です。 スタートからゴールに行くまでに、１０個の扉があります。 ボタンを押して扉が開く確率は、１個目から順番に ９９％→８０％→６０％→５０％→４０％→３０％→２０％→１５％→１１％→１１％ となっています。 ボタンを押して扉が開いた場合、次の扉へ進みます。 ボタンを押しても扉が開かなかった場合、 もう一度その扉のボタンを押すこととします。 １回の挑戦で３０回までボタンを押すことができます。 その場合、ゴールまでたどり着ける確率は何％くらいなのでしょうか？ また、ゴールまで辿りつける確率が５０％を超えるには、 １回の挑戦で何回ボタンを押して良い事にすれば良いのでしょうか？ 恐れ入りますが、計算式と解答を教えていただきたいです。 以上、よろしくお願いいたします。 ※http://okwave.jp/qa3685941.htmlで同じような質問をしたのですが、 間違えて閉め切ってしまったため、新しく質問させていただきました。
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一般化して解くのは私にはちょっと無理ですが 最悪以下のような手順で解くことはできます。 d番目の扉が開く確率を既知としてq(d)とおく。 t回目を押した後でd番目の扉の前にいる確率 p(t, d)とする。 初期条件： p(0,1) = 1, p(0,2) = p(0,3) = ・・・ = p(0,10) = 0 遷移条件： i) d = 1ならば p(t,1) = p(t-1,1)×(1-q(1)) ii) d > 1ならば p(t,d) = p(t-1, d-1)×q(d-1) + p(t-1,d)×(1-q(d)) 要するに2次元的に広がっていく漸化式（？）みたいなものです。 これを使用して、 最初にp(1,1),p(1,2)が求められる。 同様にp(2,1),p(2,2),p(2,3)がわかる。 ： 繰返してp(9,1),p(10,2), ・・・ p(9,10)がわかる。 以下同様に、 p(10,10) p(11,10) p(12,10) ： p(29,10) までを求めます。 最後に Σ[k=9～29]{p(k,10)×d(10)} を計算すれば求める確率になります。 Excelを使ってたとえば縦軸をt横軸をdとしてセルに計算式（遷移条件）を 入れていけば値自体は求められるはずです。
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Excelを使って、値を求めてみました。 1回目のご質問の値の場合 【99%→80%→60%→40%→30%→20%→10%→15%→11%→11%】 ●～回以内で、ゴールのとき 20回以内のとき、0.0108718180488358… 30回以内のとき、0.11592743616098… 40回以内のとき、0.338583307995546… ★46回以内のとき、0.487684969324125… ★47回以内のとき、0.511574597996978… 50回以内のとき、0.580164305453904… 60回以内のとき、0.765057097455029… 70回以内のとき、0.880213704949707… 80回以内のとき、0.943015892059165… 90回以内のとき、0.974279993281926… 100回以内のとき、0.988854251796732… ●～回目で、ゴールのとき 10回目のとき、0.0000020699712… 20回目のとき、0.00347482673502804… 30回目のとき、0.0168460619628421… 40回目のとき、0.0249393118067853… 50回目のとき、0.022296561202093… 60回目のとき、0.0152049303239536… 70回目のとき、0.00878975544893784… 80回目のとき、0.00455440735531476… 90回目のとき、0.00218530128524872… 100回目のとき、0.000991106934625039… 2回目のご質問の値の場合 99%→80%→60%→50%→40%→30%→20%→15%→11%→11% ●～回以内で、ゴールのとき 20回以内のとき、0.0327063691849525… 30回以内のとき、0.239461835293978… ★38回目のとき、0.47817399820770200000000 ★39回目のとき、0.50693941693273600000000 40回以内のとき、0.534988265594675… 50回以内のとき、0.762742257425152… 60回以内のとき、0.892564971758186… 70回以内のとき、0.955090241616727… 80回以内のとき、0.982240073554584… 90回以内のとき、0.99325113805989… 100回以内のとき、0.99751008261304… ●～回目で、ゴールのとき 10回目のとき、0.000010349856… 20回目のとき、0.00943888947913555… 30回目のとき、0.0280801585325799… 40回目のとき、0.028048848661939… 50回目のとき、0.0180910988475891… 60回目のとき、0.00933649861242583… 70回目のとき、0.00423126237342041… 80回目のとき、0.00176548470241329… 90回でゴールのとき、0.000696566789273821… 100回でゴールのとき、0.000264131595316927… 【補足】 ●どこの扉の前にいる確率が高いか(2回目の値のとき) 10回やったとき、【6の扉の前】0.373806400565664… 20回やったとき、【8の扉の前】0.352802025541464… 30回やったとき、【9の扉の扉の前】0.318286452258843… 32回以上は、【ゴール】
お礼
ご回答ありがとうございます。 Ｅｘｃｅｌで計算もしていただき、とても恐縮です。 私の方で計算した確率と一致することも確認できました。 No1の方と甲乙つけがたいのですが、 回答いただいた時間で、ポイントをつけさせていただきます。 ありがとうございました。
お礼
ご回答ありがとうございます。 とてもわかりやすく説明していただき、とても助かりました。 JavaScriptでご回答いただいた式をプログラム化することにより、 確率を求めることができました。