３桁の数はつぎの場合いくつありますか。

質問

百の位の数が十の位以上で、十の位の数は一の位の数以上である３桁の数はいくつですか？

　abc として　a>b>c 等号がつく　として考えましたがうまくまとまりません。
　どのようにしたらいいですか。

回答No.4

kumipapa · ベストアンサー

＃１です。大ボケでしたね。ごめんなさい。
＃３さんのご回答もおもしろいですが、＃２さんのご回答いいですね。
重複組み合わせ、是非、調べてみてください。

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0から9の数字を重複を許して３個選んでから、大きい順に並べれば000を除いて題意の３桁の数字になるから、0から9の数字を重複を許して３個選ぶ選び方について考えればよい。なるほど～賢いですね。
この問題は、例えば○を３個、｜を９個の合計１２個を横一列に並べるモデルにかえて考えることができます。
○３個と｜９個を一列に並べたとき、左端から最初（１番目）の｜までの○の個数を数字の「0」を選ぶ個数と考え、１番目の｜と２番目の｜にはさまれた○の個数を数字の「1」を選ぶ個数、・・・８番目と９番目の｜にはさまれた○の個数が数字の「8」を選ぶ個数で、９番目の｜から右端までの○の個数が数字の「9」を選ぶ個数に対応させることができる。例えば、
○○○｜｜｜｜｜｜｜｜｜　→　０を３個選ぶ
○○｜○｜｜｜｜｜｜｜｜　→　０を２個、１を１個選ぶ
・・・
｜○○○｜｜｜｜｜｜｜｜　→　１を３個選ぶ
・・・
｜○｜｜｜○｜｜｜｜○｜　→　１、４、８を１個づつ選ぶ
・・・
｜｜｜｜｜｜｜｜○｜○○　→　８を１個、９を２個選ぶ
｜｜｜｜｜｜｜｜｜○○○　→　９を３個選ぶ
というように、○と｜の並びを数字の選び方に対応させられる。
故に、重複を許した数字の選び方は、○３個と｜９個を並べる並べ方の数と等しい。
この数は、（○と｜合わせて１２個だから）１２箇所から○を置く３箇所を選ぶ選び方の数なので、12Ｃ3 = 220 通り。
前述したように、これには 000 も含まれるのでこれを除いて 219 通り。

お礼

ありがとうございます。棒線の個数と○の個数をどう数えるのかの理解が大変で、どっちがどっち？のようになってしまいます。
詳細なのでわかりましたが似た問題でできるかが不安です。

回答No.3

BASKETMM

格好良く全てを書き並べました。一の位基準です。
考え方は分かりやすいしとても満足しています。
何時でも級数の和に直せますし。

000（これは後から除く）
100
200
300

900-----10
110

910-----9
220
920-----8
330
930-----7
440
940-----6
550
950-----5
660
960-----4
770
970-----3
880
980-----2
990-----1-----55
111
211
311
911-----9
221
921-----8
331
431
931----- 7
441
941-----6
551
951-----5
661
961-----4
771
971-----3
881
981-----2
991-----1-----45
222
992----------36
333
993----------28
444
994----------21
555
995----------15
666
996----------10
777
997-----------6
888
998----- -----3
999 ----------1 全部足したら 219

お礼

なるほど、大変ですが、確かになりそうです。自分で再度書いてみます。ありがとうございました。

回答No.2

age_momo

○3つを重複を許して0-9に割り振ればよいですから
(後で大きい順に並べればよい)

(10+3-1)C3=12C3=220

ただし、これには000が含まれるのでこれを引くと

220-1=219

補足

もう少し詳しくお願いしたいのですが、重複組み合わせというもの
でしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

kumipapa

３桁の数字の百の位の数を a とすると、

a=1 のときは 100 から 111 まで 12個
a=2 のときは 200 から 222 まで 23個
a=n のときは n00 から nnn まで 11n+1 個

求める数は Σ(n=1,9)(11n+1) = 11Σ(n=1,9)n + 9 = 504 個
計算間違ってたらごめんなさいね。

お礼

早々にありがとうございます。
100　101　102　103 104 105 106 107 108 109 110 111 で12個
ですが、101～109はダメなので、ちょっと。