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随伴写像の存在性の証明は?
k_m__の回答
- k_m__
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ANo.1 の回答へのお礼に書かれたことを思い出して下さい。 A(v_i)=Σ[j=1..n] aij v_j および A の線形性より， AΣ[i=1..n]x_i v_i = Σ[i=1..n] A(x_i v_i) = Σ[i=1..n] x_i A v_i = Σ[i=1..n] x_i Σ[j=1..n] a_ij v_j となります。そして最後に和を Σ[i=1..n] x_i Σ[j=1..n] a_ij v_j = Σ[i,j=1..n] x_i a_ij v_j とコンパクトにまとめれば完了です。
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ご回答有難うございます。遅くなりまして申し訳有りません。 > A(v_i)=Σ[j=1..n] aij v_j および A の線形性より， ： > とコンパクトにまとめれば完了です。 A(v_i)=Σ[j=1..n]a_ij v_j (A∈L(V),v_i∈V,a_ij∈F) …(1) と書ける(∵VからVへの線形写像Aの定義)。 よって, A(x)=A(Σ[i=1..n]x_i v_i) (x_i∈F) (∵x∈span{v_1,v_2,…,v_n}) =Σ[i=1..n]A(x_i v_i) (∵A is linear) =Σ[i=1..n]x_i A(v_i) (∵A is linear) =Σ[i=1..n]x_i Σ[j=1..n]a_ij v_j (∵(1)) =x_1(a_11 a_12 … a_1n) t(v_1 v_2 … v_n) +x_2(a_21 a_22 … a_2n) t(v_1 v_2 … v_n) … +x_n(a_n1 a_n2 … a_nn) t(v_1 v_2 … v_n) =(x_1 x_2 … x_n) (a_ij) t(v_1 v_2 … v_n) ((a_ij)は各成分がFのn×n行列を表す) 従って, y(A(x))=(Σ[i=1..n]y_i f_i) ((x_1 x_2 … x_n) (a_ij) t(v_1 v_2 … v_n)) …(2) (y_i∈F) (∵y∈span{f_1,f_2,…,f_n}) > 同様にして (Cy)(x) を表して下さい。 C(f_i)=Σ[j=1..n]c_ij f_j (C∈L(V'),V'∋f_i:双対基底,c_ij∈F) …(3) と書ける(∵V'からV'への線形写像Cの定義)。 よって, C(y)=C(Σ[i=1..n]y_i f_i) (y_i∈F) (∵y∈span{f_1,f_2,…,f_n}) =Σ[i=1..n]C(y_i f_i) (∵C is linear) =Σ[i=1..n]y_i C(f_i) (∵C is linear) =Σ[i=1..n]y_i Σ[j=1..n]c_ij f_j (∵(3)) =y_1(c_11 c_12 … c_1n) t(f_1 f_2 … f_n) +y_2(c_21 c_22 … c_2n) t(f_1 f_2 … f_n) … +y_n(c_n1 c_n2 … c_nn) t(f_1 f_2 … f_n) =(y_1 y_2 … y_n) (c_ij) t(f_1 f_2 … f_n) ((c_ij)は各成分がFのn×n行列を表す) 従って, (C(y))(x)=((y_1 y_2 … y_n) (c_ij) t(f_1 f_2 … f_n)) (Σ[i=1..n]x_i v_i) …(4) (2),(4)からy(A(x))=(Cy)(x)は (Σ[i=1..n]y_i f_i) ((x_1 x_2 … x_n) (a_ij) t(v_1 v_2 … v_n)) =((y_1 y_2 … y_n) (c_ij) t(f_1 f_2 … f_n)) (Σ[i=1..n]x_i v_i) と相変わらずCを表せない状態から先に進めません。 これからどうやって (c_ij)=? の形に変形できますでしょうか?