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随伴写像の存在性の証明は?
k_m__の回答
- k_m__
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一意性の証明はそれでいいと思います。 （内積空間の場合の証明とは本質的に異なります。） これで，V の基底の取り方によって，構成できる C の表現が変わっても，どれも L(V '×V ') の元としては同一のものであることが保証されます。 あとは，y(Ax)=(Σ(k)y[k]f[k])(AΣx[i]v[i])=(Σy[k]f[k])(Σ(i,j)x[i]a[ij]v[j]) =Σ(i,j,k)y[k]x[i]a[ij]f[k](v[j])=Σ(i,j,k)y[k]x[i]a[ij]δ[kj]=Σ(i,j)x[i]a[ij]y[j] という計算と同様にして (Cy)(x) を表して下さい。 両者の式を見比べれば，C のこの基底における表現行列をどう選べばよいかわかると思います。
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お手数お掛けしております。 > あとは， > y(Ax)=(Σ(k)y[k]f[k])(AΣx[i]v[i]) y[k],x[i]はFの元なのですね。 > =(Σy[k]f[k])(Σ(i,j)x[i]a[ij]v[j]) ここの部分が分かりません。どうしてAΣx[i]v[i]からΣ(i,j)x[i]a[ij]v[j] つまり、AΣ[i=1..n]x_i v_iからΣ[i,j=1..n]x_i a_ij v_j と変形できるのでしょうか(AはL(V)の元ですよね。つまり,VからVへの線形写像)? ご解説お願い致します。m(＿ ＿)m