２次RCフィルタ、カットオフ周波数計算方法

質問

2次RCフィルタのカットオフ周波数計算方法を教えてください。

------15kΩ-----│-------15kΩ---│
　　　　　　　 　　　　│　　　　　　　 │
　　　　　 0.01μF　　　　　 1000pF　
　　　　　　　　　　　 │　　　　　　　 │
---------------│--------------│
のような回路の時のカットオフ周波数のくわしい計算方法をお願いします

回答No.2

inara

信号源の出力インピーダンスを r 、終端抵抗を R としたとき、複素利得 G(ω) は以下のようになります（計算方法は後述）。
　　　G(ω) = Vout/Vin = 1/[ 1 + ( R1 + R2 + r )/R - C1*C2*( R1 + r )*R2*ω^2 + j*ω*{ C1*( r + R1 )*( 1 + R2/R ) + C2*R2*( 1 + ( r + R1 )/R2 ) } ] --- (1)
ω = 2*π*f です（ f は周波数）。もし r と R が純抵抗ならば、利得 |G(ω)| は
　　　|G(ω)| = 1/√[ { 1 + ( R1 + R2 + r )/R - C1*C2*( R1 + r )*R2*ω^2 }^2 + ω^2*{ C1*( r + R1 )*( 1 + R2/R ) + C2*R2*( 1 + ( r + R1 )/R2 ) }^2 ]
となります。DC利得は
　　　|G(0)| = 1/{ 1 + ( R1 + R2 + r )/R }
です。

カットオフ角周波数 ωc は、利得が |G(0)|/√2となる角周波数なので、もし r と R が純抵抗ならば、ωc は以下の方程式の解となります（ω^2 に関する２次方程式）。
　　　{ 1 + ( R1 + R2 + r )/R - C1*C2*( R1 + r )*R2*ω^2 }^2 + ω^2*{ C1*( r + R1 )*( 1 + R2/R ) + C2*R2*( 1 + ( r + R1 )/R2 ) }^2 = 2*{ 1 + ( R1 + R2 + r )/R }^2
特に r = 0、R = ∞ ならば
　　　|G(ω)| = 1/√[ { 1 - C1*C2*( R1 + r )*R2*ω^2 }^2 + ω^2*{ C1*R1 + C2*( R1 + R2 ) }^2 ]
　　　|G(0)| = 1
なので
　　　(ωc)^2 = [ 2*C1*C2*R1*R2 - { C1*R1 + C2*( R1 + R2 ) }^2 ± √A ]/{ 2*( C1*C2*R1*R2 )^2 } --- (2)
　　　A = [ { C1*R1 + C2*( R1 + R2 ) }^2 - 2*C1*C2*R1*R2 ]^2 + 4*( C1*C2*R1*R2 )^2
となります。R1 = R2 = 15kΩ = 15e3Ω、C1 = 0.01μF = 0.01e-6F、C2 = 1000pF = 1000e-12F ならばカットオフ周波数 fc は
　　　fc = ωc/( 2*π ) = 949.8Hz
で（回路シミュレータでも確認しました）。式(2)では解が２個ありますが、この場合、- 符号のほうは (ωc)^2 < 0 となってしまうので + 符号のほうだけが解となります（いつもそうなるのかどうかは分かりません）。

【式(1)の計算方法】

　　　　i1 →　　V1　　　i2 →　　　　Vout
　┌── R1 ─┬── R2 ──┬───┐
　 r　　　　　　　 │　　　　　　　　　│　　　　 │
　│　　i1-i2 ↓C1　　　　i2-i3 ↓C2　　　　R↓i3
　Vin　　　　　　│　　　　　　　　　 │　　　　│
　└────-┴──────┴───┘

入力電圧を Vin、出力電圧を Vout、R1 と R2 の間の電圧を V1 とすれば
　　　i1 = ( Vin - V1 )/( r + R1 ) --- (1)
　　　i2 = ( V1 - Vout )/R2 --- (2)
　　　i3 = Vout/R --- (3)
　　　i1 - i2 = j*ω*C1*V1 --- (4)
　　　i2 - i3 = j*ω*C1*Vout --- (5)
式(1),(2) を式(4) に代入して i1, i2 を消せば
　　　( Vin - V1 )/( r + R1 ) - ( V1 - Vout )/R2 = j*ω*C1*V1 --- (6)
式(2),(3) を式(5) に代入して i2, i3 を消せば
　　　( V1 - Vout )/R2 - Vout/R = j*ω*C1*Vout --- (7)
式(6),(7) より V1 を消せば
　　　Vout/Vin = 1/[ 1 + ( R1 + R2 + r )/R - C1*C2*( R1 + r )*R2*ω^2 + j*ω*{ C1*( r + R1 )*( 1 + R2/R ) + C2*R2*( 1 + ( r + R1 )/R2 ) } ]

お礼

詳細な部分まで回答していただきありがとうございます。
理解できてなったところが理解できそうです。

回答No.1

noname#101087

in-out の終端条件がわからないので、まず縦続行列の出し方だけ。

　　R1 = 15kΩ
　　C2 = 0.01μF
　　R3 = 15kΩ
　　C4 = 1000pF
として、順番に縦続行列を書くと (s = jω)
　F1 = |1　R1|
　　　　|0　1|

　F2 = |1　　0|
　　　　|sC2　1|

(F3, F4 も同じかたち)
行列の乗算を施せば、in-out の縦続行列が得られます。
　F = F1*F2*F3*F4 = |A　B|
　　　　　　　　　　|C　D|

----------------------------
in が入力インピーダンスゼロの定電圧源V1、out の負荷インピーダンスが無限大とし、出力電圧V2 の場合ならば、
　V1/V2 = A
である。
この場合、|A| = 1/2 を解いて 3dB ダウン点(ωc = 2πfc)を求める。ふつう、この周波数fc を「カットオフ周波数」という。

お礼

大変ありがとうございます。
まだまだ自分の知識が足りないことに気づきました。