3σと最大値，最小値

質問

今ある計測データのまとめを行っています。
その計測データに対して、要求元からこのような要求がありました。
・計測データの3σはxxx以下でかつ計測データ内における最大値と最小値の差は
　yyy以下であることが望ましい。
いまxxxの条件は満たすことができているのですが、yyyの条件を満たすことができていません。

そこでこの要求に対して質問があります。
(1)3σと最大値と最小値の差との間には数学的に関連があると言えるのでしょうか？
(2)関連があると言えるのであれば、数学的にそれを理解できるよう教えていただけないでしょうか？

統計学はシロウトです。
よろしくお願いします。

回答No.3

masa2211

計測データというのが、製造物の品質管理の目的で計測した「何か」であると仮定します。

1)「3σ」と「最大値と最小値の差」との間の関連
数学的には、＃1さんのとおりですが、製造物の場合は別の意味を持ちます。
「3σ」がある値以下というのは、品質が一定しているということ。
具体的には、製品のばらつきが少ないこと。
一方「最大値と最小値の差」というのは、ある１データが平均からズレまくっている（他はズレていなくても。）、というのとほぼ等しいため、
異常事態などが起きているかの指標という意味になります。
したがって、「3σ」が許容値内で「最大値と最小値の差」が許容値から外れる、というのは、
普段は、きちんと品質管理されていて品質のバラツキが少ない。
ただし、たまに異常事態が起こり、とんでもない品質の製品ができてしまう。
といった状態にある、ということです。
言い換えれば、3σと最大値と最小値の差には数学（統計学）的な関連は「無い」のです。
関連があれば、どちらか片方で用が足ります。
関連が無い現象が実際におこるからこそ、２つの管理指標が必要となります。

また、逆に、「3σ」が許容値からハズレ、「最大値と最小値の差」は許容値内、というのもありえます。
具体的には、
工作精度の甘いポンコツ機械を使って製品を作っている。当然、不良品をたくさん作る。
しかし、検査機械はまともで、しかも全数検査している。
したがって許容値外の製品は監査でひっかかるから一切無いが、許容値ぎりぎりの製品は多量にある。
このような製品を購入し、購入後の品質検査した場合のデータ。
つまり、全数検査で不良品をはじくことで3σのほうをごまかしてしまったデータ。

なお、上のような回答は、以下のことを字句どおりにとった場合の回答です。

＞計測データの3σはxxx以下。この条件は満たす。
３σの値（＝ばらつき）が小さいことが条件であり３σを超えるデータがごくわずか混じることは許容する。
＞最大値と最小値の差はyyy以下
ｙｙｙの値には、２*xxxより大きい値が設定されている。たとえば、3σが４でyyyが１０。
＃1さんは、
・±3σをxxx以下という要求と＜その中に設定＞する「最大値と最小値」
とありますが、私は、＜その外に設定＞しています。
ここの解釈が違うので、＃１さんと結論が違っています。
ですから、＜その中に設定＞なら、＃１さんとほとんど同じ感想をもちますが、
２ハン縛りを合理的解釈するのを優先し、＃1さんとは異なった解釈としました。
ですので、ここの値によっては、私の意見は却下してください。

また、この場合の「製造物」とは、
・生コンが固まったときの強度、アスファルト舗装工事直後の凹凸
・リンゴや梨などの農作物の大きさ、甘さ（糖度）
・計測作業だけであっても精度管理を行うもの（測量データなど）
といった、通常は製造物とはみなされないものも製造物と解釈してください。

結論。（警告！これは倫理的には問題のある発言です！）
２ハン縛り、かつ、全数検査であるなら、不良品はほっかむりして、全数検査通過後の最大最小を申告しよう！