√443.25の計算式を教えてください。

質問

直角三角形の底辺が21、垂線が1.5の斜線の長さを出したいのですが電卓のルート計算と手計算の答えが合いません。
垂線x2=垂線2.25×底辺21
垂線x2=22.5×22.5＋21×21
垂線x2=2.25＋441
垂線x2=443.25
√443.25＝？
？の計算方法がどうもうまくいきません。
途中式も教えていただけたら幸いです。

回答No.6

masa2211 · ベストアンサー

測定値の有効桁については結論が出たようなので一旦棚上げします。（多少ひっかかるところもあるのですが...）

√の計算（ルート付き電卓は反則の場合）ですが、開平はおすすめしません。
逐次近似を用いたほうが計算の手間はかかりません。（たとえ全部筆算でも開平より速い。）

√443.25の場合、
20＊20＝400までは暗算でできるので、第1近似を20とします。（かなり適当な値を第1近似としてかまわない。）
443.25÷20＝22.1625
（20＋22.1625）÷2＝21.08125　　　これが第二近似
有効２桁でよいならこれで終わり。
もっと桁数が欲しい場合、
443.25÷21.08125＝21.02579
（21.08125＋21.08125）÷2＝21.0535　（第３近似）
まだ有効桁が足り名なければ、同様に繰り返します。

あと、開平の方法ですが、
＞(3)443.25=177/4
＞(4)17773=3×3×197
＞(5)√443.25=3/2×√197
＞(6)196=14×14
という計算方法は開平を使わず近似で解く方法であり、開平とは関係ありません。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%8B%E5%B9%B3%E6%B3%95

お礼

masa2211さん

今までは漠然としか考えられなかったところがかなりスッキリしました。

いろいろお教えいただきましてありがとうございました。

回答No.5

Ichitsubo

「別の話」について。
底辺と垂線の測定値がそれぞれ21、1.5です。
これは測定した人が責任持って目盛りを読んだ結果が21、1.5という意味です。厳密に21であったり、1.5であったりするわけではありません。しかし、「およそ」でもないのです。責任を持って読んだのですから。
もっと精度のいい(＝刻み幅が細かい)目盛りを使って読めば、21.23とか1.487かもしれないし、21.00かもしれないし、1.537かもしれません。しかし、使った目盛りでは上から2桁しか責任持って読むことができなかったのです。このような、責任持って読んだ桁数のことを有効○桁といいます。

とすると、計算は√(21^2＋1.5^2)となります。
このルートの中身は、21*21+1.5*1.5です。
有効n桁×有効m桁の計算は結果は、nとmの小さい方に合わせます。ただし、途中計算の場合は、更に一桁多く求めておきます。
ここではルートの中身という計算途中なので、3桁めまで求めます。
21*21+1.5*1.5＝441+2.25
今度は足し算です。前の項の441は、ぴったり441ではありません。責任持って読めた部分を計算したら441になったというものです。もとの21には読めていない部分がまだあるはずなので、本当は21.?なのです。このハテナの部分があるために、441の小数点以下は責任を持ってくれる人がいないので信用がおけません。ですから仮に441.?と表現しておきましょう。
さて足し算ですから
＿441.?
＋＿2.25
￣￣￣￣
を計算します。先ほどのように、441の小数点以下は信用できないので、小数点以下の計算は無意味です。よってこの答えは443となります。
次に√443の計算を行います。とはいってもこれは計算機の手を借りましょう。
√443＝21.0475652
と計算機は表示しても、先ほどと同じ理由である程度の桁以降は信用できない値となります。√(有効n桁)の計算結果はもとと同じn桁とする決まりがあるので、
√443＝21.0
となります。(21ではありません。21.0です。信用できる桁数が違っています。)

最後に、元の測定値は有効2桁だったのでさいごに2桁にして
√(21^2＋1.5^2)＝21
ということになります。ここでよく"≒"を使ってしまいがちですが、信用できる部分についての計算を行っているだけなので、ばっさりと"＝"で結びましょう。

あくまで実用的な計算についてを述べました。

お礼

Ichitsuboさん

大変ご丁寧に詳細をお教えいただきありがとうございます。

とてもわかり易く教えていただいたおかげでやっと理解することができました。

本当にありがとうございました。

回答No.4

banakona

＞(4)がなぜ177/4になるのか？

正しくは（４）１７７３=3×3×197で、「なぜ１７７３／４になるのか？」ですね。
これは、（３）で出てきた１７７３／４の分子１７７３だけを取り出して素因数分解したものです。

＞(5)もなぜそうなるのか？

上の結果と（３）から　　１７７３／４＝（3×3×197）／４＝（3×3×197）／（2×2）＝（3/2）×（3/2）×１９７＝（3/2）^2×１９７　
よって　　√443.25=√１７７３／４＝√｛（３／２）^2×１９７｝＝3/2×√197　・・・☆

＞(6)は14×14が196になるのは分かりますが196というのはどこからきたのかなどわかりません。

１９６は、☆の「１９７」が１９６に近いし、14×14＝196で都合がいいので持ってきたのでしょう。
　√443.25＝3/2×√197≒3/2×√196
ということです。だから
　√443.25≒3/2×√196＝３／２×１４＝２１
となります。

お礼

banakonaさん

ご丁寧にご説明いただき本当にありがとうございます。

かなり理解力がないのに質問だらけで申し訳ないです。

とても参考になりました。

ありがとうございました。

回答No.3

key-boy

質問の意味がもうひとつ解りません。（すいません理解不足で）

(1)垂線とはどこの？
(2)『垂線x2=垂線2.25×底辺21』の式の意味は？
(3)『垂線x2=443.25』で垂線が1.5なら1.5×2=443.25ですか？
(4)√443.25＝？　手計算での開平と電卓とが合わないとのことですか？

質問の補足をお願いいたします。

補足

説明不足で申し訳ありません。

>(1)垂線とはどこの？
直角三角形の縦の線を言っています。

>(2)『垂線x2=垂線2.25×底辺21』の式の意味は？
>(3)『垂線x2=443.25』で垂線が1.5なら1.5×2=443.25ですか？

急いで書いていたため間違った記載をしていました。
斜線2乗＝垂線2乗＋底辺2乗
という公式が教科書に載っていました。
上記の公式を元に計算をしたら下記に↓なりました。
斜線2乗＝1.5×1.5＋21×21
斜線2乗＝443.25

(4)√443.25＝？　手計算での開平と電卓とが合わないとのことですか？

そうです。
電卓と教えていただいたグーグルで)√443.25を調べてみたら、
およそで21.054になりました。

手計算では443.25を割り切れる数で計算していたので、
もともとの√の計算自体間違っていたようです。

いろいろ調べてみたのですが開平自体がよくわからなくなりました。

下記が解答になるらしいですが
(1)斜線2乗＝1.5×1.5＋21×21
(2)斜線2乗＝443.25
(3)443.25=177/4
(4)17773=3×3×197
(5)√443.25=3/2×√197
(6)196=14×14
およそ21になるらしいです。

(1)～(3)は分かっても、お恥ずかしいことですが(4)～(6)が全く分かりません。
(4)がなぜ177/4になるのか？
(5)もなぜそうなるのか？
(6)は14×14が196になるのは分かりますが196というのはどこからきたのかなどわかりません。

誤植だらけですみませんでした。

もし、お教えいただけたら幸いです。

どうぞよろしくお願いします。

回答No.2

Ichitsubo

困ったときのgoogleさん。
「√443.25」で検索してみましょう。

なお、数学ではなく、自然科学的な立場で答えると、この斜辺の長さは21となりますが、それはまた別の話。

お礼

電卓では確か21.054とでました。
数学とは違うんですか？
そこをよくわかっていませんでした。
>別の話
のところを知りたいのですがもう一回教えていただいたとおり検索してみます。とにかくググってみます。

ご教示いただきありがとうございました。

回答No.1

12125j

途中まで

√443.25
＝√(44325／10^2)
＝√(3^2×5^2×197／10^2)
＝3×5／10×√197
＝3／2×√197

補足

先ほどの問題の途中式を間違った記載をしていました。申し訳ありません。
直角三角形の底辺が21、垂線が1.5の斜線の長さを出したいのですが電卓のルート計算と手計算の答えが合いません。
垂線x2=垂線1.5(2乗)×底辺21(2乗)
垂線x2=1.5×1.5＋21×21
垂線x2=2.25＋441
垂線x2=443.25
√443.25＝？
？の計算方法がどうもうまくいきません。
答えと途中式も教えていただけたら幸いです。