熱交換計算について

質問

熱交換の計算についてですが、以下の場合どのように計算したらよいでしょうか？
200Lの容器の中に銅管（内径13mm、外径15ｍｍ）
を入れ、容器内（液温55℃）の水を冷やそうと思います。
銅管を通る冷却水は25℃で30L/minの流量だとします。
この条件下で、銅管の長さを20ｍの場合どれだけの熱交換が可能かが知りたいのです！

回答No.6

noname#57316 · ベストアンサー

冷却配管の長さが20mのとき、どの程度の冷却能力があるか、エクセルで計算
してみました。
ただし、総括伝熱係数は、20(Kcal/m2/hr/℃)としました。
総括伝熱係数を求めるには、レイノルズ数(Ruρ/μ)が分かれば良いのですが、
粘性係数(μ)が不明のため、大雑把ですが、20 としました。
配管の長さを変えて冷却能力を試して見てください。

時間　　　容器内水の温度
0 Hr. 55
2 Hr. 45.65850294
4 Hr. 39.22579146
6 Hr. 34.79611849
8 Hr. 31.74577142
10 Hr. 29.64525129
12 Hr. 28.19879792
14 Hr. 27.20274587
16 Hr. 26.51684774
18 Hr. 26.04452678
20 Hr. 25.71927865
22 Hr. 25.49530734
24 Hr. 25.34107694
26 Hr. 25.2348713
28 Hr. 25.16173631
30 Hr. 25.11137434
32 Hr. 25.07669424
34 Hr. 25.05281294
36 Hr. 25.03636787
38 Hr. 25.02504353
40 Hr. 25.01724539
42 Hr. 25.01187547
44 Hr. 25.00817765
46 Hr. 25.00563126
48 Hr. 25.00387778

回答No.5

noname#57316

＃４で「一次遅れ」と書いたのは間違いです。
この行は忘れてください。
それと、「T(0)：容器内の水の初期温度」としたのは、
「T(0)：容器内の水の初期温度－冷却水の入り口温度」
の誤りです。

失礼しました。

回答No.4

noname#57316

ここで問題としているのは、熱の遣り取りであり、温度変化であるので「温度」として
いるところを、冷却配管入り口の水の温度を基準とした「温度変化」と読み替えて下さい。

そして、＃３の最後の部分を続けます。

式（3）より、
β/α=T(t)/Θ_t(t)
これを式（4）に代入すると、
Θ_x(x)={T(t)/Θ_t(t)}{1-e^(-αx)}
これから、
Θ_x(x)・Θ_t(t)=T(t)・{1-e^(-αx)}
左辺は、Θ(x,t) であるから、
Θ(x,t)=T(t)・{1-e^(-αx)}

これは、伝熱の「一次遅れ」です。

求めるべきは、容器内の水の温度（温度変化でなく）ですので、次のように考えて、
これを導きます。

冷却配管の全長に渡り、伝えられた熱が容器内の水の全熱量損失に相当しますので、
h・(2πR)・{T(t)・L-Θ_t(t)・∫[x=0→L]Θ_x(x)dx}
=-c・ρ・V・{dT(t)/dt}

この Θ_x(x) に （4）式として求めた
Θ_x(x)=(β/α){1-e^(-αx)}
={T(t)/Θ_t(t)}{1-e^(-αx)}
を代入します。

すると、
h・(2πR)・{T(t)・L-Θ_t(t)・∫[x=0→L]Θ_x(x)dx}
=h・(2πR)・〔T(t)・L-Θ_t(t)・{T(t)/Θ_t(t)}・∫[x=0→L]{1-e^(-αx)}dx〕
=h・(2πR)・〔T(t)・L-T(t)・∫[x=0→L]{1-e^(-αx)}dx〕
=h・(2πR)・T(t)・〔L-∫[x=0→L]{1-e^(-αx)}dx〕
=h・(2πR)・T(t)・〔L-{x+(1/α)・e^(-αx)}|[x=0→L]〕
=h・(2πR)・T(t)・〔L-[L+(1/α)・{e^(-αL)-1}]〕
=h・(2πR)・T(t)・[(1/α)・{1-e^(-αL)}]
であるから、

h・(2πR)・T(t)・[(1/α)・{1-e^(-αL)}]=-c・ρ・V・{dT(t)/dt}
dT(t)/T(t)=-〔h・(2πR)・[(1/α)・{1-e^(-αL)}]/(c・ρ・V)〕・dt

∴　ln{T(t)/T(0)}=-〔h・(2πR)・[(1/α)・{1-e^(-αL)}]/(c・ρ・V)〕・t

T(t)=T(0)・e^【-〔h・(2πR)・[(1/α)・{1-e^(-αL)}]/(c・ρ・V)〕・t】

冷却配管入り口の水の温度、Θ(0,t) （これを Θ_0 としています）を
基準としているので、

T(t)+Θ_0=Θ_0+T(0)・e^【-〔h・(2πR)・[(1/α)・{1-e^(-αL)}]/(c・ρ・V)〕・t】

これが、時刻 t における容器内の水の温度（温度変化でなく）になります。

これに、具体的数値を代入します。
Θ_0=冷却水の入り口温度
T(0)=容器内の水の初期温度
h=1/{(1/h_in：管内部の境膜熱伝達係数)+(1/λ：銅の熱伝導度)
　　　+(1/h_out:管外の境膜熱伝達係数)}
R：管内径
α=h・(2R)/(c・ρ・u・r^2)
　　c：水の熱容量
　　ρ：水の密度
　　u：冷却水の管内流速
　　r：管内径
L：管の長さ
V：容器の容積

回答No.3

noname#57316

＃２です。

式の変形途中で、
h・(2πR)・{T(t)・L-Θ_t(t)・∫[x=0→L]Θ_x(x)dx}
とすべき所を
h・(2πR)・[{L・T(t)-Θ_t(t)}・∫[x=0→L]Θ_x(x)dx]
としておりました。

この部分を訂正させて頂きます。

しかし、

《それは、
《h・(2πR・Δx)・{T(t)-Θ_x(x)・Θ_t(t)}
《=c・ρ・(πr^2・u)・Θ_t(t)・{dΘ_x(x)/dx}Δx
《で、簡単化すると、{h・(2R)/(c・ρ・u・r^2)}=α として、
《α・[-{T(t)/Θ_t(t)}+Θ_x(x)]+{dΘ_x(x)/dx}=0
《・・・・

以降は、式変形前の元の式を使いましたので、そのまま
活かせると思います。

お礼

凄く詳しく教えていただきありがとうございます。
が、理解ができません。
お手数とは思いますが、
今回質問させていただいた値でお願いできないでしょうか？
タンク内の水は撹拌されています。

回答No.2

noname#57316

冷却水配管の入り口から、x-Δx から x の微小長さの部分における
時刻 t における熱流束、冷却水の温度変化を考えます。

冷却水温度を Θ(x,t)、容器内の水の温度を T(t) とし、冷却水の温度が、
冷却水の流れる方向に測った配管の長さ x と、時刻 t によって表わされる
とします。
一方、容器内の水の温度は、攪拌されているものとし、配管の長手方向の
距離 x にはよらず、時刻 t のみで表わされるとします。

配管の外径を R、内径を r とすれば、t における熱流速は
h・(2πR・Δx)・{T(t)-Θ(x,t)}
です。
Θ(x,t) が、Θ(x,t)=Θ_x(x)・Θ_t(t) と表わせるとすると
h・(2πR・Δx)・{T(t)-Θ_x(x)・Θ_t(t)}
となります。
ここで、h は、配管の内外にできる境膜の熱伝達係数、h_in、及び
h_out、そして、配管の熱伝導度 λ から定まる総括熱伝達係数で、
1/h=(1/h_out)+(1/λ)+(1/h_in) として求められる係数です。

冷却配管の全長（これを L とします）に亘り x で積分すると、
h・(2πR)・[{L・T(t)-Θ_t(t)}・∫[x=0→L]Θ_x(x)dx]
となり、単位時間に冷却配管全長に亘り、入熱される熱量を表わす量と
なります。これは、容器内の水が単位時間に配管に渡した全熱量、
-c・ρ・V・{dT(t)/dt}
に等しいことが分かります。

次に、水の熱容量を c、密度をρ、冷却水の配管内の流速を u とし、
考えている配管の微小部分への単位時間当たりの熱の流入、流出量を
求めると、
流入量、c・ρ・(πr^2・u)・Θ(x-Δx,t)
流出量、c・ρ・(πr^2・u)・Θ(x,t)
で、熱の移動量は、これの差を取り、
c・ρ・(πr^2・u)・Θ(x,t)-c・ρ・(πr^2・u)・Θ(x-Δx,t)
=c・ρ・(πr^2・u)・{Θ(x,t)-Θ(x-Δx,t)}
=c・ρ・(πr^2・u)・{∂Θ(x,t)/∂x}Δx
=c・ρ・(πr^2・u)・Θ_t(t)・{dΘ_x(x)/dx}Δx
この熱量を、冷却配管全長に亘り積分したものは、配管の長手方向に
熱が伝わった全量を示すものとなり、これも、容器内の水が単位時間に
配管に渡した全熱量、
-c・ρ・V・{dT(t)/dt}
に等しいことが分かります。

従って、
h・(2πR)・[{L・T(t)-Θ_t(t)}・∫[x=0→L]Θ_x(x)dx]
=c・ρ・(πr^2・u)・Θ_t(t)・∫[x=0→L]{dΘ_x(x)/dx}dx
右辺は、
c・ρ・(πr^2・u)・Θ_t(t)・{Θ_x(L)-Θ_x(0)}
と簡単化でき、結局、
h・(2πR)・[{L・T(t)-Θ_t(t)}・∫[x=0→L]Θ_x(x)dx]
=c・ρ・(πr^2・u)・Θ_t(t)・{Θ_x(L)-Θ_x(0)} （1）

ここでは、
h・(2πR)・[{L・T(t)-Θ_t(t)}・∫[x=0→L]Θ_x(x)dx]
=-c・ρ・V・{dT(t)/dt}
=c・ρ・(πr^2・u)・Θ_t(t)・{∂Θ_x(x)/∂x}Δx
として、容器の水の熱量の減少を仲立ちして、（1）式を得ましたが、
この関係は、このような方法によらずとも得られる関係なので、
積分せず、以下のような微分方程式を得て、冷却水温度の、
長手方向分布を得ることができます。

それは、
h・(2πR・Δx)・{T(t)-Θ_x(x)・Θ_t(t)}
=c・ρ・(πr^2・u)・Θ_t(t)・{dΘ_x(x)/dx}Δx
で、簡単化すると、{h・(2R)/(c・ρ・u・r^2)}=α として、
α・[-{T(t)/Θ_t(t)}+Θ_x(x)]+{dΘ_x(x)/dx}=0

{dΘ_x(x)/dx}+α・Θ_x(x)=α・{T(t)/Θ_t(t)}
左辺は x のみの函数、右辺は t のみの函数であるから、
βを定数として、
{dΘ_x(x)/dx}+α・Θ_x(x)=β （2）
α・{T(t)/Θ_t(t)}=β （3）
でなければなりません。

(2)より、Θ_x(x)=Θ_x(0)・e^(-αx)+(β/α){1-e^(-αx)}
Θ_x(0) は、熱の遣り取りがない時の配管入り口温度と、容器内の
水の温度の差と見なして良いでしょう。つまり、0 です。

従って、Θ_x(x)=(β/α){1-e^(-αx)} （4）

一方、（3）式からは、Θ_t(t)=(α/β)・T(t) が得られます。
Θ_t(t) は、関係、（4）を拡大するファクターと考えられるでしょう。
時刻 t_1 における分布が、時刻 t_2 においては（t_1<t_2）、
Θ_t(t_2)/Θ_t(t_1) 倍に拡がることを意味しています。
これは一見、奇妙に思えるかもしれません。
というのは、容器の水は熱を放出するのであるから、温度が下がり、
配管内の温度は上昇するので、その比であるβは下がるように
思えるからです。しかし、今のようなモデルを考えている限り、
Θ_t(t) が大きい時は、T(t) も大きく、Θ_t(t) が小さい時は、
T(t) も小さくなり、その割合が一定であるということに帰結
するのです。
提示された数値を用いた計算をしませんでしたが、モデルの確認後、
数値を入れて計算なさって下さい。

回答No.1

Meowth

容器内の液体の動きや配管のしかたで変わってくるので
一概にはもとまりません。
外部の熱伝達率や 管の周囲温度が変わってきます。