- ベストアンサー
コンピュータ断層撮影(CT)の解析的意味とは
- コンピュータ断層撮影(CT)は数学的な解析を通じて情報を得る方法です
- CTにおいて、定義域と密度関数を考え、その関数を求める方法について説明します
- また、有界領域上の２変数関数においては、線積分の値から関数を求める方法もあります
- ddgddddddd
- お礼率37% (170/456)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数0
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
関連するQ&A
- 重積分の順序の交換
非有界な関数f(x,y)を重積分(0≦x≦1,0≦y≦1)することを考えます。 具体的にはf(x,y)=(x-y)/(x+y)^3です。 この時、ｘで先に積分するか、ｙで先に積分するかで値が変わることはありますか？ 僕が行った計算では、変数変換(x,z)=(x,x+y)とすると、ヤコビアンは１でdxdy=dxdzで、 ∫_0^1 dx ∫_0^1 f(x,y) dy =∫_0^1 dx ∫_x^{x+1} (2x-z)/(z^3) dz =∫_0^1 dx 1/(x+1)^2 = 1/2 ｚの積分はxを定数として計算しています。 ここで、逆の順序で積分すると、ｘとｙの変数を入れ替えたものは等しいので、 ∫_0^1 dx ∫_0^1 (x-y)/(x+y)^3 dy =∫_0^1 dy ∫_0^1 (y-x)/(x+y)^3 dx = - ∫_0^1 dy ∫_0^1 (x-y)/(x+y)^3 dx =1/2 よって、 ∫_0^1 dy ∫_0^1 (x-y)/(x+y)^3 dx = -1/2 だと思うのです。 また、直感的には、交代式を直線x=yに対称な領域で積分するなら、 ∫_0^1 dx ∫_0^1 (x-y)/(x+y)^3 dy = 0 が正しいとも思えます。 どうかこの辺の事情をお教えください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校数学言葉の意味（有界）
wikiで調べたのですが、有界の意味が捉えられません。 次の文脈ではどのような意味でつかわれているのか、教えてください。 今まで積分可能な関数ばかり取り上げてきた。実際受験生が目にする関数は連続であるか、区分的に連続だから、ほとんどすべての関数が積分可能になる。しかし、このままでは、何でも積分出来ると思われては困るので、有界なのに積分不可能な関数をあげておく。（例）０≦ｘ≦１で次のように定義される関数がある ｆ（ｘ）＝１（xが有理数）；０（ｘが無理数）
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 解析学の課題で３度目の再提出です…orz
解析学の課題で３度目の再提出です…お手数をおかけしますが、お知恵をお願いします。 問題：”関数ｆ(x,y)が点(a,b)で全微分可能であることの定義を述べよ”に対して、以下は前回提出の解答です。 http://okwave.jp/qa/q6479935.html 再提出かつ添削は”定義のみを正確に述べよ”でした… そこで解答を２つほど再考しましたのでご意見をお願いします。 解答案A 関数ｆ(x,y)の定義域内の点(x,y)=(a,b)とする。この点からのx座標とy座標の変化量を任意な変数h,kで示した時、 lim[(h,k)→0] {f(a+h,b+k)-f(a,b)-(Ah+Bk)}/√(h^2+k^2) =0 となるh,kと無関係な定数A,Bがf(a,b)に関してのみ決まるならば関数ｆ(x,y)は点(a,b)で全微分可能// 解答案B 関数ｆ(x,y)の定義域内の点(x,y)=(a,b)とする。この点からのx座標とy座標の変化量を任意な変数h,kで示した時、 lim[(h,k)→0] {f(a+h,b+k)-f(a,b)-(fa(a,b)h+fb(a,b)k)}/√(h^2+k^2) =0 ※fa,fbは偏微分を示す が成り立つならば関数ｆ(x,y)は点(a,b)で全微分可能//
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分の変数変換について
積分の変数変換に関する質問です。一番簡単な直交座標から極座標への変換を例にします。 x = x(r,θ) = rcosθ. y = y(r,θ) = rsinθ. であるとき f(x,y) = 1 を x^2 + y^2 ≦ R^2 という円内を積分領域して積分すれば ∫∫f(x,y)dxdy = ∫∫dxdy = ∫∫rdrdθ ・・・・・・ (#) となり円の面積が求められます。つまり直交座標から極座標に変換して積分するときは dxdy →drdθ ではなく、 dxdy →rdrdθ としなければならないと、どんな参考書にも書いてあります。つまり r を余分に付け加えるわけですが、これは ┌ ┐ ┌ ┐┌ ┐ ｜dx｜=｜cosθ -rsinθ｜｜dr ｜ ｜dy｜ ｜sinθ rcosθ｜｜dθ｜ └ ┘ └ ┘└ ┘ |J| =｜cosθ -rsinθ｜= rcos^2θ- (-rsin^2θ) = r ｜sinθ rcosθ｜ のように行列式|J|でも求めることができ、|J|をヤコビアンと呼ぶということも参考書に載っています。 一方で rdrdθ= rdθ*dr は極座標における面積要素ですから(#)の変換は直感的にも納得できます。θは角度ですから drdθでは面積になれないわけです。(#)は具体的には ∫[0～2π]∫[0～R]rdrdθ で計算できます。この式だけじーっと見ていると、いつのまにか r とθが極座標の変数であることが忘れ（笑）、あたかもθを縦軸、r を横軸とする '直交座標' において関数 θ= r を積分していると見なせます。 で、ここからが質問なのですが・・・ 直交座標から任意の座標に変数変換して積分するということは、結局のところ、その任意の座標を直交座標と見なして計算することであると考えてよいのでしょうか？ たとえば x = x(u,v,w) y = y(u,v,w) z = z(u,v,w) ┌ ┐ ┌ ┐┌ ┐ ｜dx｜ ｜∂x/∂u ∂x/∂v ∂x/∂w ｜｜du｜ ｜dy｜=｜∂y/∂u ∂y/∂v ∂x/∂w｜｜dv｜ ｜dz｜ ｜∂z/∂u ∂z/∂v ∂z/∂w｜｜dw｜ └ ┘ └ ┘└ ┘ ｜∂x/∂u ∂x/∂v ∂x/∂w｜ |J| =｜∂y/∂u ∂y/∂v ∂x/∂w｜ ｜∂z/∂u ∂z/∂v ∂z/∂w｜ であるとき dxdydz = |J|dudvdw という変数変換は、 u、v、w がどんな座標の変数であれ、最終的には u、v、w の '直交座標' で計算することであると考えてよいのかということです。 任意の座標同士の変数変換というのはどうなるのでしょうね。ちょっと想像しかねます。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- デカルト座標系以外での発散について
半球面S：x^2+y^2+z^2=9, z≧0上でのベクトル場f = （-2x, 2y, z）において、 ∬s f・dS を求めよ。ただし単位法線ベクトルnは上向きに取る。 ∬s f・dS を計算すると、１８πという答えが出ました。 次に、ガウスの発散定理を用いて・・・ ∬s f・dS ＝ ∫∫∫∇・fｄV ∫∫∫∇・fｄV を計算してみました。 ∇・f = １ ←（デカルト座標系でのdiv？で計算しました。） となり、 ∫∫∫∇・fｄV = ∫∫∫dxdydz 円柱座標（ρ，φ，ｚ）を用いて、∫∫∫dxdydｚを、 ∫∫∫ρdρdφdz ←（積分範囲は、 0≦ｚ≦3、0≦φ≦2π、0≦ρ≦√(9－ｚ^2） です。 ） と変換して、計算したら、答えは１８πと求まりました。 たしかに面積分で計算したときと同じ値になったのですが・・・ 座標を変換すると、発散divの形？が変わるということを知ったのですが、私は知らずにデカルト座標系のまま発散を計算し（値は１）、∫∫∫dxdydzを計算しようとして、デカルト座標ではなく円柱座標に変換して計算を行ったのですが・・・divの計算はデカルト座標のままで行ったのに答えはちゃんと求まったのは何故なんでしょうか？ 質問をまとめると・・・ 計算した値が１８πと求まったのは、発散の値が変数の含まない１という値であったから座標変換しても影響がなかったためでしょうか？ もし、ベクトル場ｆが違う値で、divfをデカルト座標で計算した値が変数で表され（ｘとか）、それを∫∫∫∇・fｄVに代入したあとに、座標変換を行って計算したら出てくる答えは間違った答えが求まってしまうのでしょうか？ その原因は、 divr = ∂ｘ/ｘ ＋ ∂ｙ/∂ｙ ＋ ∂ｚ/∂ｚ ・・・(1) これが、円柱座標（ρ，φ，ｚ）において、 divr = ∂ρcosφ/∂ρ ＋ ∂ρsinφ/∂φ + ∂z/∂ｚ ・・・(2) とはならないからですか？
- 締切済み
- 数学・算数
- 2変数の合成関数の微分公式を用いた計算について
微分積分の回答をお願いいたします。；2変数の合成関数の微分公式について ｚ＝ｅ^ｘｙ，ｘ＝2ｕ-3ｖ，ｙ＝5ｕ+7ｖによって合成関数ｚ＝ｆ（ｘ（ｕ，ｖ），ｙ（ｕ，ｖ））を定義したとする。 ｚｕ，ｚｖを、2変数の合成関数の微分公式を用いて計算せよ。 回答をお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 正則だから、有界？
今日は。複素関数を独学中ですが、次の教科書の記載文中で分からない箇所が有りますので教えて下さい。 いま関数f(z)が開円板|z-α|＜ρで正則であるとする。 zをこの開円板の点とし、rを|z-α|＜r＜ρなる任意の正の数、Cを円周|ζ-α|=rを正の方向に進む道とする。この後の記載は少し省略させて頂きまして、次の f(ζ)はC上で正則だから、有界であって、C上でつねに |f(ζ)|＜M となるような正の数Mが存在し、…とあります。 疑問点は、「f(ζ)はC上で正則だから、有界であって」の箇所です。私としては、 f(ζ)はρ内およびC上で連続でCに沿って一周する積分路をとると∫_cf(ζ)dζ=0であるからf(ζ）は有界である。のかと考えてみたのですがすっきりしません。 なぜ正則だと有界といえるのか分かり易く教えていただけたら幸いです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線積分の座標変換？ヤコビアン？
積分の座標変換のことについて質問です。 2重積分や3重積分では、 x=x(u,v), y=y(u,v) などとおいたとき、ヤコビアン J を用いて ∫f(x,z)dxｄｚ = ∫f(x(u,v), y(u,v)) |J| dudv となることはわかりました。|J|は面積の比を表すということもわかりました。しかし、線積分の場合どうなるかわかりません。 曲線の長さに沿った積分 ∫f(x,z)ds は、変数変換したあとはどのように表されるのでしょうか？ おそらく、変数変換前後の線素？の長さの比が入るのだと思うのですが・・・
- ベストアンサー
- 数学・算数
