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11月の進研模試のトライ問題なんですが・・・
kumipapaの回答
- kumipapa
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察するに > 3次方程式x3+mx2+3nx+m+n-1=0(m,nは実数の定数)…(1)は > x=1を解にもつ。 は x= -1 を解にもつ、ですね。そうしないと(1)が m=n+1 になりませんので。 (2) m = n+1 を元の3次方程式に代入すると x^3 + (n+1)x^2 + 3nx + 2n = 0 (x + 1)(x^2 + nx + 2n) = 0 この解が全て実数である条件は D = n^2 -8n ≧ 0 n(n-8) ≧ 0 n≦0, n≧8 (3) 解と係数の関係から、 α+β = -n αβ = 2n である。 α^3 + β^3 = (α + β)(α^2 - αβ + β^2) = (α + β){(α + β)^2 - 3αβ} = (α + β)^3 -3αβ(α + β) = -n^3 + 6n^2 -n^3 + 6n^2 = 32 n^3 - 6n^2 + 32 = 0 (n + 2)(n - 4)^2 = 0 (2)の条件より n = -2 ですか。
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