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U^cが閉集合ならばf^-1(U^c)が閉集合になるのは何故?

連続の問題です。 [問]E⊂R:実数体,f:E→Rとする時、 R⊃∀F:閉集合に対しf^-1(F)はEの閉集合⇒fがEで連続 を解いています。 ∀U⊂Rを開集合とするとU^cは閉集合となる。 x∈f^-1(U^c) ⇔f(x)∈U^c ⇔￢(f(x)∈U) ⇔￢(x∈f^-1(U)) ⇔x∈(f^-1(U))^c よって(f^-1(U))^c=f^-1(U^c)は閉集合である。f^-1(U)は閉集合だからfは連続。 という証明を見つけました。 ところで (f^-1(U))^c=f^-1(U^c)となる事は分かったのですが U^cが閉集合ならばf^-1(U^c)が閉集合 になるのは何故なのでしょうか?

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • koko_u_
  • ベストアンサー率18% (459/2509)
回答No.1

>U^cが閉集合ならばf^-1(U^c)が閉集合 >になるのは何故なのでしょうか? 問題文を読み返して下さい。それがf に対する前提です。

cchisako
質問者

お礼

早合点してました。 お陰様で納得できました。どうもありがとうございました。

その他の回答 (2)

  • kabaokaba
  • ベストアンサー率51% (724/1416)
回答No.3

>U^cが閉集合ならばf^-1(U^c)が閉集合 問題文の前提なのですが・・・ 仮定：任意の閉集合 F に対して，f^-1(F) は閉集合 結論：f は連続 証明：U を任意の開集合とする． f^{-1}(U) が開集合であることを示せば f は連続となるので， それを示す． U^c は閉集合なので，f^{-1}(U^c) は閉集合（仮定より） 一方，(f^-1(U))^c=f^-1(U^c) なので（注意：これは開集合とか閉集合に関係なく，任意の部分集合について成り立つ，逆像の性質）， (f^-1(U))^c は閉集合． つまり f^-1(U) は開集合.

cchisako
質問者

お礼

ご詳細なご説明誠に有難うございます。 お陰様で納得できました。

  • zk43
  • ベストアンサー率53% (253/470)
回答No.2

まず、fは閉集合を閉集合に引き戻すという問題の前提があり、したが って、f^-1(U^c)は閉集合であるという前提があります。 そして、(f^-1(U))^c=f^-1(U^c)であることがわかったから、 (f^-1(U))^cは閉集合であり、したがって、その補集合f^-1(U)は開集合 です。（f^-1(U)は閉集合という記載がありますが、閉集合ではなく、 開集合です。） よって、fは開集合を開集合に引き戻すことがわかったから、fは連続で あるといえます。（一般に、位相空間の間の写像が連続であるとは、 開集合を開集合に引き戻すことであると定義されます。） この問題によって、閉集合を閉集合に引き戻す写像も、連続であるとい えます。

cchisako
質問者

お礼

ご詳細なご説明誠に有難うございます。 お陰様で納得できました。

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