球の体積を微分したら・・・

質問

球の体積を求める公式を微分してみました。
そしたら、球の表面積を求める公式になりました。
これは一体どうしたことでしょうか？
高卒の私にも解りやすくご説明頂ければ幸いです。

回答No.3

zk43 · ベストアンサー

半径rの球の体積をV(r)、表面積をS(r)で表わす。
rから微小量drだけ半径を増やしたとき、体積の増加分は、表面積に
drを掛けたものと考えられる。
つまり、V(r+dr)-V(r)=S(r)dr
これより、{V(r+dr)-V(r)}/dr=S(r)
（drは無限小と考えて、左辺は微分の式を表している。）

同じように考えて、円の面積を半径で微分すると、円周の長さになって
いる。

お礼

よく解りました。
これは初歩的な問題なのでしょうね。

お答えくださいましてありがとうございました。

回答No.2

kaaaiii

微分というのは傾き、すなわち変化量です。
今回rで微分するので、半径rの球において、
極僅か値"dr"だけrが変化した時の事を考えます。
その時は極小なので厚みは考えません。
すなわちその変化量は表面積という事になります。

お礼

なるほど、そういうふうに考えていいんですね。
お答えありがとうございました。

回答No.1

Ichitsubo

逆に考えてみましょう。
「球の表面積を半径積分すると球の体積になる」と。

球の表面の薄皮の体積を考えます。薄皮は球の中心からxの距離にあります。
この薄皮は非常に薄いので、外側と内側の面積はほぼ等しいと考えられます。その面積は4πx^2ですね。
この薄皮の厚さはdxとごくごく薄いものですが、この薄皮の体積は底面積×厚さの 4πx^2 dx と求まります。
この薄皮を、中心からの距離x=0から、半径rまで集めたもの
∫(x=0→r) 4πx^2 dx
がすなわち球の体積に他なりません。

お礼

なんとなくイメージが見えてきました。

ありがとうございました。