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体積を微分すると・・・

球の体積を微分すると表面積になるが、立方体の体積では?のようなことが話題になっているホームページを知っている方いませんでしょうか?どうなるかはわかっているのですが、その理由(公式や定理、または原理)がわからないので知りたいのですが。

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  • redbean
  • ベストアンサー率38% (130/334)
回答No.1

ホームページは知りませんが、直感的なレベルで説明できますよ。 1.球の場合 半径 r の球を考えます。 半径 r を任意に固定し、そこからΔr だけ半径が大きくなった場合の 体積の増分を ΔV と置きます。 Δr を限りなく小さなものと考えると、体積の増分は次のようになります。 ΔV = Δr × 半径 r の球の表面積 体積 V を 半径 r の関数 V(r) と考えたとき、この微分は、上式を使って ΔV / Δr = 半径 r の球の表面積 となります。 よって球の場合以下の関係になります。 「体積の微分=表面積」 2.立方体の場合 1辺が r の立方体を考え、球のときと同様の考え方をします。 立方体を部屋の隅においてΔr だけすべての辺を大きくするとします。 体積の増分は、 ΔV = Δr × (1辺 r の立方体の表面積 / 2 ) 表面積が半分になるのは床と壁に接触する3面が増分に寄与しないからです。 以上から立方体の場合は以下の関係になります。 「体積の微分=表面積/2」

noname#5366
質問者

お礼

ありがとうございました。大変わかりやすい説明でした。

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