最大値 最小値 高校１年レベルです。

質問

x≧０、y≧０、x+y=4　のときｘ二乗+y二乗の最大値と最小値を求めよ。という問題で僕は（x+y）二乗-2xy＝4二乗-2xyとして、
x二乗+y二乗＝16-２xyとしました。このとき、-2xyは負の数なので（
xは0以上4以下、yは0以上4以下より）最大値はx=y=0で16.
最小値はx=y=4より-16としました。しかし最大値は8だそうです。
なぜでしょう？式的には問題ないはずなのですが…。
回答には二次関数の式に変形しグラフを書いて解く方法が書いてあるのですが僕の方法でも間違っていない気がするのです。
僕の解法が違っていれば、アドバイスをまた方法を教えてください。
お願いします。

回答No.5

daikaisan

このとき、-2xyは負の数なので（
xは0以上4以下、yは0以上4以下より）
最大値はx=y=0で16.
この最大値の根拠も、論理的に脆弱ですね。
間違いではないけれど。

>最小値はx=y=4より-16としました。
あなたの論理の脆弱性が、ここで論理の破綻をうんでいます。
x=y=4・・・なんでこうなるの？
X,Yは、X+Y=4　を満たしていないとだめでしょ。
X=4のとき、Y=0
Y=4のとき、Y=0 となっちゃいますよ。
特にXYについてここで考えて見ましょう。今後の参考にされたし、
相加平均≧相乗平均(x≧０、y≧０)を利用してみましょう。
(X+Y)/2≧√XY X+Y=4だから、2≧√XY
x≧０、y≧０だから、両辺を平方
4≧XY XYの最大値は４なのです。
X~2+Y^2=16-2XY だから　4≧XYを変形します
-XY≧-4 -2XY≧-8 16-2XY≧8
X~2+Y^2=16-2XY≧8　これで、最小値８がでます。等式成立は
X=Yのとき、X=Y=2

今後も勉強に励んでください。

別の解法をしめしておきます。

一番わかりやすいのは
X^2+Y^2=r~2 とすると、円の方程式となります。
中心は(0,0)ですね。
そうすると、r~2 のrは半径をあらわします。
rのとりえる値は、x≧０、y≧０から、円は第一象限にかぎられ、
かつ、X+Y=4とこの円が、接する、あるいは交わる間となります。

あなたも、グラフを書いてみてください。
そうすると、X+Y=4と接するとき、接点(2,2)のとき
r~2が最小、(0,0)と(2,2)の距離の２乗、８とわかります。
だから、(X,Y)=(2,2)のとき、最小値８

(0,4)、または(4,0)をこの円が通るときが最大です。
そのときの、r~2=4~2+0~2=16
すなわち、(X,Y)=(4,0) または(0,4)のとき最大値１６となります。

三角関数、微分をもちいてもとくことができます。

がんばって、数学が好きになってください。
これぐらいにしておきますが、

お礼

応用ありがとうございました！数学がんばります！