角運動量演算子の計算

質問

L^2=(L+)(L-)-Lz^2+Lz
=-{(1/sinθ)d/dθ(sinθd/dθ)+(1/(sinθ)^2)*(d/dφ)^2}
を導きたいのですがうまくいきません。
計算手順を教えていただけませんか？

L+=(e^iφ)(d/dθ+i*cotθd/dφ)
L-=(e^-iφ)(-d/dθ+i*cotθd/dφ)
Lz=1/i(d/dφ)

回答No.2

noname#57316 · ベストアンサー

(L-)(L+)=L^2-Lz^2-h_*Lz だから
h_=1として、L^2=(L-)(L+)+Lz^2+Lzの誤りですね？
あるいは、L^2=(L+)(L-)-Lz^2-Lzの誤りかな？

L^2=(L-)(L+)+Lz^2+Lzとして、進めます。
波動関数ψをL^2に作用させます。
すると
(L-)(L+)ψ={(e^-iφ)(-d/dθ+i*cotθd/dφ)}{(e^iφ)(d/dθ+i*cotθd/dφ)}ψ
　　　　　　 ={(e^-iφ)(-d/dθ+i*cotθd/dφ)}{(e^iφ)(dψ/dθ+i*cotθdψ/dφ)}
　　　　　　 ={(e^-iφ)(-d/dθ)}　　　　　　　　　{(e^iφ)(dψ/dθ+i*cotθdψ/dφ)}
　　　　　　 +{(e^-iφ)　　　　 *i*cotθ(d/dφ)}{(e^iφ)(dψ/dθ+i*cotθdψ/dφ)}
　　　　　　 ={(e^-iφ)(-d/dθ)}　　　　　　　　　{(e^iφ)(dψ/dθ)}
　　　　　　 +{(e^-iφ)(-d/dθ)}　　　　　　　　　　　　　 　{(e^iφ)*i*cotθdψ/dφ)}
　　　　　　 +{(e^-iφ)　　　　*i*cotθ(d/dφ)}{(e^iφ)(dψ/dθ)}
　　　　　　 +{(e^-iφ)　　　　*i*cotθ(d/dφ)}　　　　　　 {(e^iφ)*i*cotθdψ/dφ)}
　　　　　　 ={(-d^2ψ/dθ^2)}
　　　　　　 +{i*(sinθ^(-2))(dψ/dφ)-i*cotθ*(d^2ψ/dθdφ)}
　　　　　　 +{-cotθ(dψ/dθ)+i*cotθ(d^2ψ/dφdθ)}
　　　　　　 +{-i*(cotθ)^2(dψ/dφ)-(cotθ)^2(d^2ψ/dφ^2)}
　　　　　　 ={(-d^2ψ/dθ^2)}
　　　　　　 +{-cotθ(dψ/dθ)}
　　　　　　 +{-(cotθ)^2(d^2ψ/dφ^2)}
　　　　　　 +{i*(sinθ^(-2))(dψ/dφ)-i*(cotθ)^2(dψ/dφ)}　　　　　　
i*(sinθ^(-2))(dψ/dφ)-i*(cotθ)^2(dψ/dφ)
=i*[{1-(cosθ)^2}/(sinθ)^2](dψ/dφ)=i*(dψ/dφ)
Lz^2ψ={(1/i)(d/dφ)}{(1/i)(dψ/dφ)}=-d^2ψ/dφ^2
Lzψ=(1/i)(dψ/dφ)=-i*(dψ/dφ)

∴L^2ψ=(L-)(L+)ψ+Lz^2ψ+Lzψ
={(-d^2ψ/dθ^2)}+{-cotθ(dψ/dθ)}+{-cot^2θ(d^2ψ/dφ^2)}+i*(dψ/dφ)
-(d^2ψ/dφ^2)
-i*(dψ/dφ)
={(-d^2ψ/dθ^2)}+{-cotθ(dψ/dθ)}+{(-cot^2θ-1)(d^2ψ/dφ^2)}+i*(dψ/dφ)-i*(dψ/dφ)
=-{(1/sinθ)dψ/dθ(sinθdψ/dθ)+(sinθ)^(-2)(d^2ψ/dφ^2)}
=-{(1/sinθ)d/dθ(sinθd/dθ)+(sinθ)^(-2)(d^2/dφ^2)}ψ

従って、L^2=-{(1/sinθ)d/dθ(sinθd/dθ)+(1/(sinθ)^2)*(d/dφ)^2}

お礼

ご回答ありがとうございます。
このように式を取り扱えば目的の式が導出できますね。
大変勉強になりました。

回答No.1

101325

最初の式が間違ってます。
×：L^2=(L+)(L-)-Lz^2+Lz
○：L^2=(L+)(L-)+Lz^2-Lz

途中経過：
(L+)(L-) = -{(d/dθ)^2+cotθ*d/dθ+i*d/dφ+(cotθ)^2*(d/dφ)^2}
Lz^2 = -(d/dφ)^2
Lz = -i*(d/dφ)

つかう公式：
dcotθ/dθ = -(cosecθ)^2
(cosecθ)^2 - (cotθ)^2 = 1

これでどうでしょうか。

お礼

ご回答ありがとうございます。
すいません。間違った式をアップしていました。
二つ目の公式は知りませんでした。
勉強になりました。