sin(ωt) = (1/2j) * {e^(jωt) - e^-(jωt)} の式について．

質問

ラプラス変換の勉強をしていたら，

sin(ωt) = (1/2j) * {e^(jωt) - e^-(jωt)}

という式が当り前のように使われているのですが，これって何か公式みたいな
感じで使われているのでしょうか．
ちなみにこれって，

e^(at) = sin(at) + j*cos(at)

から導けますよね．
でも，この左辺からどうやったら右辺が導き出されるのでしょうか．

導出過程を示してくださる方がいましたら，よろしくお願いします．

回答No.4

Mell-Lily

e^(iθ)=cosθ+i*sinθ (*)
これは、オイラーの公式と言います。この公式の導き方には、いくつかの方法がありますが、一番分かりやすい方法は、テーラー展開を用いる方法です。sinx、cosxのテーラー展開は、それぞれ、
　sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+… (1)
　cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+… (2)
ですね。また、e^xのテーラー展開は、
　e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+x^5/5!+x^6/6!+x^7/7!+… (3)
ですね。ここで、e^iθのテーラー展開を考えたいのですが、このとき、iを単なる係数とみなし、
　de^ix/dx=ie^ix (4)
と決めてe^ixをテーラー展開します。すると、(3),(4)から、
　e^ix=1+ix-x^2/2!-ix^3/3!+x^4/4!+ix^5/5!-x^6/6!-ix^7/7!+… (5)
となります。(1),(2),(5)を見比べれば、(*)が成立しています。

回答No.3

zamaso

No.2です。

No.1さんの回答をみて思ったんですが、

私、見当違いな回答してますね？

すみませんでした。

＞e^(at) = sin(at) + j*cos(at)
＞sin(ωt) = (1/2j) * {e^(jωt) - e^-(jωt)}

の証明しろって事かと思ったんです…

回答No.2

zamaso

私の慣れている系で説明させてもらいます。

e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)
e^(-ix) = cos(x) - i*sin(x)

この形でsin(ωt) = (1/2j) * {e^(jωt) - e^-(jωt)}を書き直すと
sin(x) = (1/2i) * {e^(ix) - e^(-ix)}
です。

　　　　　e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)
e^(ix) - cos(x) = i*sin(x)
sin(x) = (1/i) * {e^(ix) - cos(x)}
となります。
ここで
{e^(ix) - cos(x)}= {cos(x) + i*sin(x)} - cos(x)
　　　　　　　　　= i*sin(x)
となります。
次について考えます
(1/2) * {e^(ix) - e^(-ix)}= {cos(x) + i*sin(x) - cos(x) + i*sin(x)}/2
　　　　　　　　　　　　　　= i*sin(x)

パソコンだと分りにくいかもしれませんが、紙に書いてみてください。
証明完了しています。

って言っておいて間違ってたらごめんなさい

回答No.1

tak2006

マクローリン展開して見れば分かりますよ。