二次形式の評価関数とは。。。

質問

現在大学院でモデル予測制御について学んでいるものです。その中で評価関数というものがよくでてくるのですが、この評価関数というものの適切な理解ができません。。。

例えばモデル予測制御であれば予測された出力と現在の出力との差と、各サンプル間の入力の差を評価関数とし定義しているのですが、この意味は出力を過大に変化させずに尚入力の過大な変化も防ぐためにこのような評価関数にしているということは大体理解できたのですが、いまいちピンときません。

じゃあ例えば「これこれこういう式を最小化する」という問題になったときにどいういうふうにそれを評価関数に生かすことができるのでしょうか？なにか例などあると助かるのですが・・・

素人の質問で申し訳ありませんがもしよろしければ誰か回答くださると助かります。どんな些細なことでも結構ですのでよろしくお願いします。

最後に評価関数についてこの本を読めばわかるよ、とかこのサイトにアクセスしたらよくわかるよ、というものがあれば是非教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

Linandtete · ベストアンサー

最小二乗法をご存じだと思います。
しばしば見られる二乗法では、計測値w（スカラ）に理論値y（スカラ）を一致させるべく、ｙを構成するパラメータ群ｘを定めます。ここに y=f(x)、あるいは線形化して y=Axと表せます。
計測値は多数回(n)の計測後に得られますから、これをベクトル表示に連立表記し、w(n*1),y(n*1),x(m*1),A(n*m) と定義できます。各回の計測誤差を並べた誤差ベクトルは、v(n*1)=ｗ－ｙで与えられます。この時、誤差の二乗和E（スカラ）は、E=v'vで表されます。肩の「'」は、転置、あるいは共役転置を表します。もし観測値に重みWをつけるならば、E=v'Wvと、２次形式を利用できます。
この二乗和Eは、パラメータxが計測値を表現する程度を「評価」していますので、パラメータｘの評価関数と言えます。評価関数が小さいほど良好です。
「評価関数」は評価者が設定すればよいのです。パラメータと過去の計測値から推定される予測値、そして新しく得られた計測値の誤差の二乗和を「評価関数」とすれば、カルマンフィルタが構成されます。評価関数には、誤差の二乗和分や、評価者の思惑（限界を超えそうだと２次関数状に罰則点：ペナルティを賦課するなど）を加えることも可能です。
参考書、教科書、WEB は大量にあります。ご健闘を祈ります。