大学の数学。組み合わせに関する演習問題です。

質問

大学の離散システム工学という講義の問題の途中に出てくる計算が意味分かりません。

(1-x^21)(1-x^31)(1-x^41)Σ[k=0 to ∞]([k+2]C[2])x^k = (52C2)-(31C2)-(21C2)-(11C2)

Cは組み合わせです。
どうして左辺＝右辺
になるのかが分かりません。

どうぞ、よろしくお願いします。

回答No.2

kabaokaba

>どうして左辺＝右辺になるのかが分かりません。

普通の意味ではなるはずがないと思うんですけど
何か条件とか落ちてませんか？

まず，
Σ[k=0 to ∞]([k+2]C[2])x^k = 1/(1-x)^3
ですよね
なぜなら，等比級数の和の公式を考えれば
1/(1-x) = Σ[k=0 to ∞] x^k
なので．級数のコーシー積を考えれば
1/(1-x)^2 = Σ[k=0 to ∞] (k+1)x^k
です．さらに，1/(1-x)^2 と 1/(1-x) のコーシー積で
1/(1-x)^3 = Σ[k=0 to ∞] (k+2)(k+1)/2 x^k
= Σ[k=0 to ∞]([k+2]C[2])x^k
です．となると，
(1-x^21)(1-x^31)(1-x^41)Σ[k=0 to ∞]([k+2]C[2])x^k
=(1-x^21)/(1-x) (1-x^31)/(1-x) (1-x^41)/(1-x)
なので，
=(1+x+・・・+x^20)(1+x+・・・+x^30)(1+x+・・・x^40)
と・・・多項式になりますね。。。

＃んーー。。。なんか間違ってるかな。。。

お礼

ありがとうございました。
わざわざ解いて頂いて本当に感謝です。
また機会があればよろしくお願いいたします。

補足

ご回答ありがとうございます。
申し訳ありません。
こちらの書き方に間違いがあったようです。
もし、差し支えなければ下の方の補足の方に誤った部分を書いておいたので、アドバイスもらえると嬉しいです。