多様体の位相について

質問

多様体の「位相」について混乱しています。
位相多様体Mとすると、Mにはすでに位相が入っているわけですよね。
位相を入れるという操作がよくわかりません。
質問(1)すべての多様体には位相が入っているのでしょうか？
質問(2)例えば「２次元ユークリッド空間内の円x^2+y^2=1を考える」といった時点ですでに位相は入っているのでしょうか？

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

>「ある集合に対して異なる位相の与え方をすれば、異なる多様体になりえる」という具体的な例

多分一番有名と思われる論文をあげておきます．
位相多様体としては同じだが微分可能多様体としては
同じではない例です．
John W. Milnor,
On manifolds homeomorphic to the 7-sphere,
Ann. Math., 64, 1956, pp.399--405
大学生でしょうから，
興味があれば先生に聞くのがよいでしょう．
「ミルナーのエキゾチックな7次元球面の論文」と
微分幾何方面の先生にいえばたぶん通じます．
これを読むための基礎知識についても
アドバイスしてくれるかもしれません．
＃もっと初等的な例が思いつけばいいのですが，
＃この論文，難解だとおもいます

多様体の位相構造・微分構造に関しては
東大の松本幸夫先生の一連の「四次元のトポロジー」の
記事の中にはもっと読みやすいものがあるかもしれません．
このあたり「四次元」だけ特異であることが知られており，
R^4だけでもいろいろあるはずです

お礼

どうもありがとうございました。理解の助けになりました。

回答No.1

kabaokaba

>質問(1)すべての多様体には位相が入っているのでしょうか？
Yes. そもそも多様体は位相空間の一種

>質問(2)例えば「２次元ユークリッド空間内の円x^2+y^2=1を考える」といった時点ですでに位相は入っているのでしょうか？
Yes. 普通はR^2からの相対位相が入っている

========
一つの集合に対して
一般には複数の位相が入ります．
集合によっては
うまーく位相を入れることができれば
位相多様体になるし，もっとうまーくできれば
微分可能多様体なり複素多様体なりになることもあります．
異なる位相をいれたつもりでも，
実は同じになったりすることもあれば，
ほんとうに全く異なることもあります．
＃最近話題になった「ポアンカレ問題」はこの近辺のお話です．

お礼

なるほど・・・ありがとうございます。
「ある集合に対して異なる位相の与え方をすれば、異なる多様体になりえる」という具体的な例は何かありませんか？書くのが大変でしたら参考文献だけでもありがたいです。