速度算（公務員の数的処理）

質問

H17警視庁３類の数的処理の問題（速度算）なのですが、Aの速さ、あるいはBが歩き始めてAが出会うまでの時間を未知数として解こうと思うと2次方程式を解く羽目になってしまいます。

警視庁３類（高卒区分）というと、2次方程式を解かせるような作業は必要ない出題がほとんどだと思っていたのですが…

答えは36KMなのですが、2次方程式を使わない解答がもしありましたらご教授願いたく思います。

問題：
A,Bの2人がXとYを結ぶ同じルートを歩くことにした。AはXから一定の速度でYに向かい、BはAが出発してから2.5時間後にYを出発し、Aより毎時1.5KMだけ遅い速度でXに向かった。AとBが途中で出会ってから、Aは1.5時間後にYに到着し、Bは6時間後にXに到着した。XY間の距離を求めよ。

回答No.5

aquarius_hiro

watchTVさん、こんにちは。

式にすると2次方程式になるのですが、因数分解や解の公式を知らない人はどうやって解くのかを考えてみました。

[解法1]

XY間の出合った位置をP点として、XP=L(km), YP=L'(km) とおきます。
Aの速さをv(km/h), Bの速さをv'(km/h) とします。
　v - v' = 1.5 = 3/2 (km/h) … (1)

出会うまでの時間を考えて、
　L/v = L'/v' + 2.5
　L/v - L'/v' = 5/2 … (2)

出会ってからの時間を考えて、
　L/v'=6 … (3)
　L'/v=1.5=3/2 … (4)

(3)×(4)より、
　(L/v')×(L'/v) = 9
左辺を組みなおして、(L/v)×(L'/v') = 9 … (5)

(2)を(5)に代入したら、2次方程式になるので、それはしません。

(2)と(5)を
　「引いたら5/2、かけたら9になる二つの数はなぁ～んだ？」
というクイズとみます。

適当に代入してみると、
5 - 5/2 = 5/2 ⇒ 5×5/2 = 12.5 ・・・大きすぎました。
8/2 - 3/2 = 5/2 ⇒ 4×3/2 = 6 ・・・小さすぎました。

9/2 - 4/2 = 5/2 ⇒ 9/2×4/2 = 9 ・・・ぴったりです。

故に、
　L/v = 9/2 … (6)
　L'/v' = 4/2 = 2 … (7)
と求まりました。

(6),(3)より、v = 2L/9 = 2/9×6v' = (4/3)v' = v' + v'/3
(1)より、3/2 = v - v' = v'/3
故に、
　v' = 9/2
　v = 4/3×9/2 = 6
故に、
　L = (9/2)v = (9/2)×6 = 27
　L' = 2v' = 2×9/2 = 9

故に、L+L' = 36 (km) と求まります。

（解法1終わり）

計算を細かく書いたので、長くなりましたが、(6),(7)を乗り越えたら、あとは分数の計算だけなので、そんなに難しくないと思います。

[解法2]

　v - v' = 3/2 … (1)
　L/v = L'/v' + 5/2 … (2)
　L/v'=6 … (3)
　L'/v=3/2 … (4)

まで解法1と一緒で、(3),(4)をv,v'について解いて(2)に代入します。

　L/(2L'/3) = L'/(L/6) + 5/2
　3L/2L' = 6L'/L + 5/2
　3(L/L') = 12(L'/L) + 5 … (5)

r = L/L' とおくと、r > 0 であり、(5) は、
　 3 r = (12/r) + 5 … (6)
となります。
（両辺にrをかけると2次方程式になりますので、それはしません。）

(6)の右辺では、第1項の係数12が大きく、さらに5も加えているので、rにある程度の大きさの数を代入して、係数12を打消すようにしないと(6)が成立たないことはすぐにわかります。

ためしに、r=1を代入してみると、(左辺) = 3、 (右辺) = 17
　⇒ もっと、rは大きくないといけません。

r=2を代入してみると、(左辺) = 6、 (右辺) = 11
　⇒ まだまだです。

r=3を代入してみると、(左辺) = 9、 (右辺) = 9
　⇒ ぴったりです。

従って、
　r = L/L' = 3
　L = 3L' … (7)
がわかります。

L+L' = x とおくと、L = 3x/4、L'=x/4

(3)より、v' = L/6 = (3x/4)/6 = x/8
(4)より、v = 2L'/3 = 2(x/4)/3= x/6

(1) より、3/2 = v - v' = x/6 - x/8 = 2x/48 = x/24
故に、x = 36 (km) と求まります。

（解法2終わり）

お礼

2つも解法を載せていただき、ありがとうございました。
前半の(L/v)×(L'/v') = 9 … (5) の組み換え後の式を出す所や、
後半の3(L/L') = 12(L'/L) + 5 … (5) でr = L/L' とおいてrの値をしぼりこむ辺り、かなり工夫をされていて見事だなと感じました。