円形の池の周りに鬼がいて、池の中心にＡさんがいて、鬼に捕まらずに逃げるには？

質問

半径 R の円形の池があり、中心にＡさんがいます。
Ａさんは一定の速度 v で泳げます。
池の周りには鬼がいて、速度 V で池の周囲のみを走ることができます。
鬼は可能な限りＡさんを捕まえようと最善の方法で走ります。
Ａさんは可能な限り鬼に捕まらないように池の外に最善の方法で出ようとします。
（鬼の位置によって進む方向を変えてもかまいません。）

このとき、
　(1) Ａさんの泳ぐ速度が鬼の何倍以上なら
　　　　Ａさんは鬼に捕まらずに池の外に出ることができるでしょうか？
　　　　その場合の戦略はどのようなものでしょうか？
　(2) Ａさんの速度が v で鬼の速度が V であるとき、
　　　　どのような戦略をとれば、最短時間で逃げられるでしょうか？
　(3) Ａさんの速度が v で鬼の速度が V であるとき、
　　　　どのような戦略をとれば、
　　　　鬼より最も離れたところで陸に上がることができるでしょうか？

実は、この質問はあるサイトの質問を少し変えたものです。
そのサイトでは、回答期限が１週間以内であるという重大な欠点があり、
だれも満足のいく回答を示すことはできませんでした。
そこで、回答の時間制限がなく、かつ閲覧者も多く、
優秀な回答者も多そうなこのサイトに投稿することにしました。

私も解いてみたのですが、計算・実験等してみたところ、
(1) については、おそらくＡさんが逃げ切れる速度の上限は v/V = 0.218 程度だと思います。
(3) は、もう少しで解けそうな気もします。
(2) は、解ける見通しが立っていません。

また、上記の質問は、ビルゲイツの面接試験問題
http://pitecan.com/Mixi/diary/2319810.html
http://pitecan.com/Puzzle/devil/
の条件を少し変えたものでもあるようです。
（これが元ネタかもしれません）

難問かもしれませんが、回答、もしくはヒント等頂ければ助かります。
解くには時間がかかるかもしれませんので、
その場合は「考え中です」とでも回答して頂ければよいと思います。

なお、他のＱ＆Ａサイトへリンクを貼る等、
「他のサイトへの誘導およびやりとりを促し当サイトへの営業妨害に繋がる恐れのある記述」
をすることはご遠慮下さい。回答を削除されてしまいます。
また、画像をどこかにアップロードしてリンクを貼るのも禁止事項のようです。
http://service.okwave.jp/cs/prohibition/
http://okwave.jp/qa3162570.html
http://okwave.jp/qa3289973.html
をご覧下さい。

回答No.10

montmort

No.8,9です．
＞実は今、鬼が最適でない戦略をとったときに、
＞その隙をついて最終的な鬼からの距離を最大限離すためには
＞どうしたらよいかを考え中です。
そうですよね．とりあえずそのまま進むっていうのは数学的にルーズですから，最適解を出すのは自然ですね．

＞ただ、ここまでが長くなりましたので、
＞いったん締め切って新しく質問した方がよいとお考えの方は、
＞その旨お伝えください。
確かに長くなりましたね．新しく質問しなおしたほうがいいかもしれませんが，ちょうど(2)が解けたので書いてもいいですか？

簡単のため池を単位円,鬼の角速度を1としてあります．
前半を，やはり中心が(v/2,π/2)で半径v/２の円に沿って逃げ，後半をこの円の接線上を逃げ，ちょうど鬼に捕まる条件を求める．前半から後半に移る時点のAさんの位置をP(r,θ)とする．その位置は，P(v*sinθ，θ）と表わせる．またAさんが最終的に池のたどり着く地点をQ(1,θ+φ) とする．△OPQにおいて∠QOP=φ,∠OPQ=π-θである．よって，
∠PQO=θ-φ
である．また，OP=vsinθ,OQ=1である．PQ=kとすると，△OPQにおいて正弦定理を適用し，
1/sin(π-θ）=visnθ/sin(θ-φ）=ｋ/sinφ…(2)
また，求める条件は，
π+φ=k/ｖ …(3)
であるから，これらからφ，kを消去する．
(2)より，
sin(θ-φ）=vsin^2（θ）
よって，
φ=θ-arcsin（visn~2（θ））
また，k=sinφ/sinθ=sin（θ-arcsin（vsin^2(θ)）/sinθ であるから，(3)は，
π＋θ-arcsin（vsin^2(θ)）＝sin（θ-arcsin（vsin^2（θ））/（vsinθ）
これを満たすθだけ前半小円上を動き，その後その円の接線上を行けばちょうど鬼にぶつかりますから，ちょっとθをふやせば鬼から逃げれます．
ただし，この方程式の解が意味をもつのは
0.21723362821122165＜v＜1/π
です．
それより小さいと，鬼につかまります．
大きいと，最初から直線で逃げます．

この戦略が最適という自信はありません．検討をお願いします．

お礼

回答ありがとうございます。
いよいよ (2) ですね。

私は、おそらく最後は直線で、
しかもその直線の向きはまっすぐ外周に向かう方向なのではないかと
考えています。
そうすると、montmortさんの予想と違いますね。

他の皆さんの回答を待ちたいと思います。

補足

(3) が解決しましたので、いったんここで締め切って
新しく質問したいと思います。
新しい質問のアドレスは、
http://okwave.jp/qa3331684.html
です。

お礼欄をほとんど使い切ってしまいましたので、
ここで改めてお礼したいと思います。

b4330さんへ：
なかなか楽しい回答でした。ありがとうございます。

BONUSUさんへ：
質問の不備をご指摘頂き、ありがとうございます。

syouji_08さんへ：
ビルゲイツの面接試験問題を解けた人としては最初でしたね。
ありがとうございます。

SortaNerdさんへ：
>> r圏内に入らず、鬼が前方に来ない限り鬼は一方向に進むので、
>> その間に最も長い距離を進めるコースは直線。
など、考え方の点でとても参考になりました。
ありがとうございます。

age_momoさんへ：
ずばりの回答ですね。ありがとうございます。

montmortさんへ：
最後まで一緒に考えていただき、ありがとうございます。
なお、「曲線の可能性も想定して解いている」と書いていましたが、
やっと解けました。（もちろん、やっぱり直線でした。）
>> その隙をついて最終的な鬼からの距離を最大限離すためには
>> どうしたらよいかを考え中です。
ということについては、
>> 鬼がπだけ離れるまでそのまま進めばいいです．
というのが、手っ取り早いだけでなく最適な戦略
（つまり隙をついて最終的な鬼からの距離を最大限離す戦略）
であることがわかりました。
途中式については、相当長くなってしまいますので、
ここには書かないことにします。ご容赦下さい。

本当はすべての人にポイントを発行したいのですが、
（SortaNerdさん・age_momoさん・montmortさんに 20pt
　syouji_08さんに 10pt
　b4330さん・BONUSUさんに 5pt ぐらいが適切でしょうか）
２人の人にしかポイントを発行できませんので、
私の独断と偏見で決めさせて頂きます。ご容赦下さい。