扇形の面積を最大とする半径rを求める。

質問

周が一定ｍで、半径r、中心角がaである扇形の面積を最大にする半径と中心角aを求めよ。という問題で、弧の長さをｂとするとb＝ｍ－２ｒ
面積をsとするとs=br/2=(m-2r)r/2=-r^2+mr/2=-(r-m/4)^2+m^2/16となってr=m/4のとき最大となることは分かったのですが、a=2という回答が分かりません。s=πr^2a/360=m^2/16　　これを解くとa=360/πとなって２となりません。わかる方どうぞ教えてください。

回答No.3

aquarius_hiro

こんにちは。

a=360/πは、360/π度という意味ですね。

なぜなら、使った式
> s=πr^2a/360=m^2/16
はaを度で測って、s=πr^2×(a/360)としたわけなので。

a=360/π(度)は、それはそれで正解ですが、問題の答えではラジアンという単位で表現しているようです。

2πラジアンが360度です。
つまり、1度＝2π/360ラジアン

従って、aをラジアンで表現すると、
a = 360/π(度)×2π/360(ラジアン/度) = 2ラジアン
です。

ラジアンは、角度を表現するのに、単位円(半径1の円)の円弧の長さを用いるものです。単位円で、ある中心角に対する円弧の長さがaのとき、その角度をa(ラジアン)とします。これがANo.1の方の言われている「弧度法」というものです。

単位円の一周(360度)は 2π×1 = 2π なので、2πが360度になります。

ラジアンは大変便利なので覚えておかれると良いと思いますよ。

例えば、半径rの円の中心角がa(ラジアン)の円弧の長さbを求めたいとき、同じ角度a(ラジアン)に対する半径1の円の円弧の長さはそのままaなわけなのですから比例計算で、

r:b=1:a

ということで、ra=bになります。

お礼

有り難うございました。ラジアンというのを学んだ気がいます。すっかり忘れていました。分かりました。有り難うございました。