XY平面座標から△ABCの面積を求める

質問

こんにちは。高校数IIの公式集の中での公式です

＜公式＞原点O(0,0)、A(x1,y1)、B(x2,y2)によって作られる△OABの面積は
　　S=1/2｜x1y2-x2y1｜　（←｜｜は絶対値記号です）

この解説については、S=1/2（OA）（OB）sinθ　より[θはOAとOBのなす角　OA=r1,OB=r2　OA、OBとｘ軸の正の方向とのなす角をα、βとして]、三角関数の加法定理を用いる式変形により証明されていました。

素朴な疑問ですが、この公式結果は見ただけでピンとくるものがないため丸暗記すべきなのか、それとも作図上で何か意味合いを示すことができるのでしょうか。詳しい方がいらっしゃれば別の説明をお願いします。

回答No.8

kkkk2222 · ベストアンサー

これ以上は、図に書き込めないで、言葉による説明しか出来ません。
画面は、最大画面にするか、フォントを変えるか、メモ帳にＣＯＰＹするかして、図がくずれないようにしてください。

やっとわかりました。私も高校生のとき、この公式見て、あまりのsimpleさに驚くと同時に、（覚える）というより、（忘れられない）公式となりました。また、図形的に説明はつくと感じていましたが、今日まで、（宿題）になっていました。ある意味で、何だこういう事だったのかと・・・。以下、説明を記述しますが、
わかった瞬間に、同じ思いをされるかと。

もし、判らなくても２、３日置いたら氷解されると思います。当然ながら、常にこの図になるわけではありません。ただ、感覚的には、他の図でも同じ様な話になるだろう、と思います。

　　　　　　　　　Ｂ
・・・・・・・・・・・・・ｙ２・・・・・・・・・・・・・・・・・・Ｏ’
・　　　　　　　・　　　　　・　　　　　　　　　　　・　
・　　　　　　・　　　　　　　　　　・　　　　　　　・
Ａ’　　　　・　　 Ｐ　　　　　　　　　　　　・　　ｙ１　Ａ
・　　　　・　　　　　　　　　　　　　　　　・　　　・
・　　　・　　　　　　　　　　　　　・　　　　　　　・
・　　・　　　　　　　　　　・　　　　　　　　　　　・　
・　・　　　　　　　・　　　　　　　　　　　　　　　・　
・・　　　　・　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・　
Ｏ・・・・・・・・・・ｘ２・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ｘ１
　　　　　　　　　Ｂ’　

Ａ’Ｂ’Ｐの位置は、見たとおりで特に説明はしません。　　　　　　　　
＞＞原点O(0,0)、A(x1,y1)、B(x2,y2)、＞＞S=（1/2）｜x1y2-x2y1｜　

この図では、x1y2　は　長方形全体の面積です。
x2y1は長方形ＯＡ’ＰＢ’です。
x1y2-x2y1は、残りの三つの長方形和ととなります。
S=（1/2）｜x1y2-x2y1｜は、これらの長方形の半分。
S=△ＡＰＢ＋△Ａ’ＰＢ＋△ＡＰＢ’となります。

肝心の△ＯＡＢは三分割して、上記の三つ△に対応出来れば終了となります。
ポイントは、補助線ＯＰでした。　
ＯＰ、ＰＡ、 ＰＢ、で△ＯＡＢは三分割されます。
すぐにわかるのは、△ＡＰＢが対応していることです。
△ＰＯＡは頂点ＯをＢ’まで平行移動すれば、△ＡＰＢ’と重なり、　
△ＰＯＢは頂点ＯをＡ’まで平行移動すれば、△Ａ’ＰＢと重なって終了です。

説明を読むというより、ザーとスキャンして、ご自分で考えられた方が速いと思います。

お礼

ありがとうございます。
視覚上で納得できました。
回答者様の努力には敬意を表します。