相加相乗の定理を使って

質問

a>0 b>0の条件で、
(a+3b)(1/a+3/b)≧16　を証明するんだけど、、、涙
ぜんぜんとけないんです。

10+3a/b+3b/aに左辺がなるまでできたんだけど
16にしなきゃいけないんだけど、
どうすればいいかがわかりません。
誰か教えてください。
お願いします。

回答No.1

ny_bigappl · ベストアンサー

左辺＝1 + 3a/b + 3b + 9 = 10 + 3a/b + 3b/a

3a/b + 3b/aここで相加相乗平均をつかって

3a/b + 3b/a　＞＝　2√3a/b * 3b/a = 6

10 + 3a/b + 3b/a >= 10 +6 = 16じゃない

等号は3a/b ＝ 3b/a　⇔　a = bのとき

お礼

ありがとうございます。
丁寧でわかりやすくって、
すっきりとしました。
これで宿題が、終わります。

回答No.5

noname#57316

＃４です。

失礼しました。
下から二行目、
(1/a+3/b)/4≧{(1/a)・(1/b)^3}^(1/4)　に訂正します。

回答No.4

noname#57316

a+3b=a+b+b+b
これの相加平均は、(a+3b)/4
相乗平均は、(a・b・b・b)^(1/4)　
に気が付けば簡単。

(a+3b)/4≧(a・b^3)^(1/4)
(1/a+3/b)/4≧{(1/a)・(3/b)}^(1/4)
より、(a+3b)(1/a+3/b)/16≧1

お礼

ありがとうございます。
ごめんなさい、頭が悪いので
よくわからなかったのですが、
なんとか理解できました。

みなさん丁寧でどれを良回答
にしていいかわかりませんでした。
でもつけなくっちゃいけないので、
つかなかった方、すみません。

回答No.3

shintaro-2

a>0,b>0だから

両辺にa,bを乗じて相加相乗を使えば良いのでは？

お礼

ありがとうございます。
シンプルで、かえってわかりやすかったです。

みなさん丁寧でどれを良回答
にしていいかわかりませんでした。
でもつけなくっちゃいけないので、
つかなかった方、すみません。

回答No.2

take_5

そこまで来たなら、
(a+3b)(1/a+3/b)＝10+3(a/b+b/a)と変形して、相加平均相乗平均の関係より、a/b+b/a≧2　(等号成立は　a＝b＝1)となるから、
(a+3b)(1/a+3/b)＝10+3(a/b+b/a)≧10＋3*2＝16.

お礼

ありがとうございます。
わかりやすかったです。
宿題が、おわりました。
丁寧に答えてくださってありがとうございます。