ベクトルの９０度回転について

質問

このサイト
http://www.deqnotes.net/acmicpc/2d_geometry/using_vectors
の下段の方に「Normal vectors」という図があるのですが、この図で
ベクトル　a=(x,y)　の法線ベクトル、つまりベクトル　a　を９０度回転させたベクトル、であるベクトル　a'=(-y,x)　となっていますが、
どうもa'はaをｙ軸について対象に写像しているようにしかみえなくて、
a'=(-y,x)　となることになっとくがいきません。
図的にいってどういう風に写像しているんでしょうか？
過去の質問
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2994956.html
の回答では、数式的には納得いっても、図的には納得いきませんでした。
回答よろしくお願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

ベクトルを複素平面で考えると分かりやすいと思います。
ベクトルaを複素数表現で表せば
a=x+iy
90°だけ反時計回りに回転させる演算子はe^(iπ/2)=iだから、
（90°＝π/2[ラジアン]）
aを90°回転させたベクトルa'は
a'=ai=(x+iy)i=-y+ix
となります。
これをベクトル表現に戻せば
a'=(-y,x)
になりますね。

90°だけ時計回りに回転させたベクトルa"であれば
90°だけ時計回りに回転させる演算子はe^(-iπ/2)=-iだから、
a"=a(-i)=(x+iy)(-i)=y-ix→ベクトル表記(y,-x)
となります。

お分かりですか？
回転演算子e^(iθ)をベクトルに掛けてやれば、元のベクトルは
反時計回りに角度θだけ回転します。

お礼

複素数でやるとかなり簡単ですね。
回答ありがとうございました。

回答No.1

kabaokaba

>どうもa'はaをｙ軸について対象に写像しているようにしかみえなくて、

a=(x,y)ならy軸対象は (-x,y) です．
a'=(-y,x)はxyも入れ替わって，符号も変わってることに注意．

(1,0)に直交するベクトル（の一個）は(0,-1)ということ．
(1,1)に直交するベクトル（の一個）は(-1,1)ということ．
(1,2)に直交するベクトル（の一個）は(-2,1)ということ．

これは内積をとれば０になるベクトルが直交するベクトルである
ということを使っているだけです．
二つの一次関数の傾きがかけて -1 だったら直交している
ということの一般化でもあります．

方眼紙に絵を書きましょう．
例えば，
原点から右に1，上に2すすむ直線を９０度回転しようと思ったら，
上に1，左に2（右に-2）進めばよいことはわかるでしょう？
つまり，(1,2)に垂直なのは，(-2,1)です．

お礼

何となく図でのイメージがつかめました。
まだ、違和感があるので、自分で理解するまで考えて消化したいと思います。
回答ありがとうございました。