統計学における自由度

質問

統計を勉強し始めたものです。
統計学における自由度の定義がイマイチわかりません。
なるほど！、と思う説明に出会えないでいます。

よく自由度は「自由に動ける変数の数」だと教科書に書いてあるのですが
例えば、2標本問題(e.g.男女の身長)で標本平均の差の標本分布を求める際、男子の標本の大きさをm、女子の標本の大きさをnとした時（互いに独立）の自由度はm+n-2となることが理解できません。

この場合、
「男子の平均」ー「女子の平均」
の分布を考えるので自由度（自由に動ける変数の数）はm+n-1でもいい気がしてしまいます。
教科書には「2つの標本平均を使って偏差の平方和を計算するから、自由度が2失われる」と書いてあるのですがなかなかこの説明が頭に入りません。

勉強不足で申し訳ありませんが、自由度を定性的に理解できる説明を教えて下さい。
よろしくお願い致します。

回答No.3

Ishiwara

真の平均値は不明です。そこでｍ個の男子データから男子平均を推定します。その推定のために１個分の情報が費やされてしまった、と考えます。女子の場合も同様です。そこで合計２個分の情報が費やされた、と考えます。「自由度」という言葉の意味にとらわれすぎると、かえってややこしくなります。解析上必要な尺度であって、名前は何でもよかったのだ、と考えると気がラクになります。

参考URL：

http://okwave.jp/qa3124271.html

お礼

確かに・・納得できました。
参考URLも参考になりました。

ありがとうございました。

回答No.2

goma_2000

確率変数をXとし、平均値をX'、標準偏差をσとすると、
標準化された変数は(X-X')/σとなります。

このとき、X-X'は（Xではなく）
　　Σ(X-X')=0
という制約があるので自由度が一つ下がります。
X,Yに関してはそれぞれ独立に（全体の和としてではなく）上記の制約がかかるので自由度が２下がります。

「2つの標本平均を使って...」というのはそういう意味になります。

お礼

参考になりました。
独立の時はそれぞれに制約がかかるということですね。
ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

「平均を使うと自由度が 1 減る」って説明を見たことがあります.
つまり, 本来 n 個のデータがあると自由度は n なんだけど, 平均を使うと「平均が固定された分布」を考えなければならないので自由度が 1 だけ減る (n-1 個のデータが決まれば最後の 1個は自動的に決まってしまうため) という説明だったような.

お礼

参考になりました。
ありがとうございます。
自分なりにまとめてみたいと思います。